Números complejos.Raices
1-a)Hallar todas las raíces sextas de 8
b)existe alguna raíz sexta Z tal que Z(conjugado) sea raíz seta de 8?
c)Hallar el producto de todas las raíces sextas
Pasamos el número 8 a su expresión polar.
Tendrá módulo m=8
y tendrá ángulo alfa = 0
Ahora las raíces sextas tendrán de modulo la raíz sexta de 8 que es la raíz de 2.
Y la primera raíz tiene el ángulo dividió entre 6, como el angulo es cero su sexta parte es cero.
Y las siguientes raíces se obtienen sumando 360º/6 = 60º cada vez
Luego las raíces tienen todas de módulo sqrt(2) y sus ángulos son
0, 60º, 120º, 180º, 240º y 300º
Si las necesitas en forma binomial son:
$$\begin{align}&m(\cos\alpha + i·sen\alpha)\\ &\\ &r_1=\sqrt 2\\ &r_2=\sqrt 2\left(\frac 12+ \frac{\sqrt 3}{2}i\right)= \frac{\sqrt 2}{2}+\frac{\sqrt 6}{2}i\\ &r_3=\sqrt 2\left(-\frac {1}{2}+ \frac{\sqrt 3}{2}i\right)= -\frac{\sqrt 2}{2}+\frac{\sqrt 6}{2}i\\ &\\ &r_4=-\sqrt 2\\ &\\ &r_5=\sqrt 2\left(-\frac {1}{2}- \frac{\sqrt 3}{2}i\right)= -\frac{\sqrt 2}{2}-\frac{\sqrt 6}{2}i\\ &\\ &r_6= \sqrt 2\left(\frac {1}{2}- \frac{\sqrt 3}{2}i\right)= \frac{\sqrt 2}{2}-\frac{\sqrt 6}{2}i\end{align}$$2) Si, si te fijas r2 y r6 son conjugadas, también lo son r3 y r5
3) Para esto lo más sencillo es hacer la multiplicación en coordenadas polares, donde se multiplican los módulos y se suman los ángulos.
El producto de seis veces el módulo da 8
Y la suma de los ángulos es
0+60+120+180+240+300 = 900º
Si le restamos 360 y 360 queda 180º
Luego es el número de módulo 8 y angulo 180º, que es el -8.
Y eso es todo.
