Sumas y restas en forma polar
Me podrías ayudar a realizar la siguiente suma:
Me interesaría saber el resultado de la misma forma, con el numero y su angulo, pero al aparecer los negativos no tengo muy claro como se resolvería.
Según el ejercicio de clase el resultado de la operación debería ser 3166 con angulo 90.18 pero yo no he podido llegar a ese resultado.
¿Me podrías indicar como se resolvería?
1 respuesta más de otro experto
Los números complejos en forma polar son buenos para hacer multiplicaciones y estupendos para hacer potencias, pero para sumar o restar no tienen ninguna utilidad. Hay que pasarlos a forma normal o trigonométrica, hacer la operación y convertirlos de nuevo a polar. La componente real es el módulo por el coseno del ángulo y la imaginaria el módulo por el seno del ángulo. Aparte, si el módulo tiene signo negativo habrá que cambiar el signo de lo que haya salido. De ahí se puede deducir todo, pero no está de más saber que los ángulos 0 y 180º solo tienen parte real, y los ángulos 90º y 170º son imaginarios puros.
El seno de 90 es 1, luego:
(10, 90º) = 10i
Con 0º son los números reales tal como son
(-10, 0º) = -10
El ángulo -90º es 270º y su seno es -1, pero aparte lleva signo - con lo que queda en positivo
(-3156, -90º) = 3156i
Y ahora es la suma de todo esto
10i - 10 + 3156i = -10 + 3166i
El modulo será la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados
sqrt(10^2 + 3166^2) = sqrt(10023656) =3166.015793
Y el angulo es el arcotangente (o inversa de la tangente) de la parte imaginaria entre la real.
arctg[3166/(-10)] = arctg(-316.6) = -89.81902846
Pero aquí esta el fallo de las calculadoras, no pueden adivinar el cuadrante, ellas dan siempre el resultado en el primero o en el cuarto. Sucede que esta vez el resultado está en el segundo cuadrante y la única forma de hacerlo bien es corregirlo a mano sabiendo en que cuadrante está la respuesta. Sabemos que esta en el segúndo, el vector es casi vertical tirando un poco a la izquierda.
Para ello debemos tener en cuenta estas dos igualdades:
la tangente de ángulos opuestos es opuesta
tg(a) = -tg(-a)
y la tangente de ángulos suplementarios es opuesta
tg(a) = -tg(180º-a)
3166.015793 = tg(-89.819...) = - tg(89.819...) = tg(180º - 89.819...) = tg(90.18097154)
Ese es el ángulo del segundo cuadrante que realmente se forma con la suma
Y el resultado es 3166.015793 con ángulo 90.18097154 tal como decían.
Y eso es todo.