Determinar n para que la recta y=2x+n sea tangente a la elipse...
Determinar n para que la recta y=2x+n sea tangente a la elipse x^2/9+y^2/4=1
$$x^2/9+y^2/4=1$$
1 Respuesta
La recta será tangente cuando la intersección recta elipse sea solo un punto. Solucionamos el sistema de ecuaciones
y = 2x + n
x²/9 + y²/4 = 1
sustituimos el valor de y de la primera en la segunda ecuación
x²/9 + (2x+n)²/4 = 1
Vamos a multiplicar todo por 36
4x² +9(2x+n)² = 36
4x² + 9(4x²+4nx+n²) = 36
4x² + 36x² + 36nx + 9n² = 36
40x² + 36nx + 9n² = 0
planteamos la solución de la ecuación de segundo grado
$$\begin{align}&x=\frac{-36\pm \sqrt{36^2-4·40·9n^2}}{80}=\\ &\\ &\\ &\frac{-36\pm \sqrt{1296-1440n^2}}{80}=...\end{align}$$Esto tendrá solo una solución cuando el radicando sea 0, luego cuando
$$\begin{align}&1296 - 1440n^2 = 0\\ &\\ &1440n^2 = 1296\\ &\\ &n^2 = \frac{1296}{1440} = \frac 9{10}\\ &\\ &n = \pm \frac{3}{\sqrt{10}}\end{align}$$Y esas son las dos soluciones, dan lugar a dos rectas tangentes paralelas entre si.
Cuando planteas la ecuación de segundo grado 40x^2+36nx+9n^2, no tendrías que tener en cuenta el 36 del otro lado de la igualdad?
$$40x^2+36nx+9n^2$$
Pues sí, se me olvidó ponerlo. Y tampoco puse un n y n² que hacían falta
4x² + 36x² + 36nx + 9n² = 36
40x² + 36nx + 9n² - 36 = 0
$$\begin{align}&x=\frac{-36n\pm \sqrt{36^2n^2-4·40(9n^2-36)}}{80}=\\ &\\ &\\ &\frac{-36\pm \sqrt{1296n^2-1440n^2+5760}}{80}=\\ &\\ &\\ &\frac{-36\pm \sqrt{-144n^2+5760}}{80}= ...\\ &\end{align}$$Y para que haya una sola solución el radicando debe ser 0
$$\begin{align}&-144n²+5760 = 0\\ &\\ &144n² = 5760\\ &\\ &\\ &n² = \frac{5760}{144} = 40\\ &\\ &\\ &n = \pm \sqrt{40} = \pm 2 \sqrt {10}\end{align}$$Y eso es todo, perdona por el olvido. Como compensación aquí la gráfica que demuestra la respuesta.
Y eso es todo.
