Análisis de regresión.
En un estudio sobre como la producción del trigo depende del fertilizante, supón que se dispone de fondos para efectuar solo siete observaciones experimentales. Asi "x" se establece a siete diferentes niveles con una observación "y" en cada caso, como se presenta en la tabla siguiente:
FERTILIZANTE (IBS/ACRE) X 100 200 300 400 500 600 700
PRODUCCIÓN (BULTO/ACRE) Y 40 50 50 70 65 65 70
Determina:
a) La ecuación de regresión.
b) El error estándar de regresión.
c) Que producción se predecira para una cantidad de fertilizante de 800 libras/acre.
a)
La ecuación de la recta de regresión es
$$y = \bar{y} + \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}^2}(x - \bar{x})$$La media de x es (100+200+300+400+500+600+700) / 7 = 400
La media de y es (40+50+50+70+65+65+70) / 7 = 410 / 7 = 58.57142857
La suma de los cuadrados de x es
100^2 + 200^2 + 300^2 + 400^2 + 500^2 + 600^2 + 700^2 = 1400000
La varianza de x es
V(X) =1400000 / 7 - 400^2 = 200000 - 160000 = 40000
La suma de los xy es
100·40+200·50+300·50+400·70+500·65+600·65+700·70 = 177500
La covarianza de X e Y es
Cov(X,Y) = 177500 / 7 - 400 · 58.57142857 =
25357.14286 - 23427.57143 = 1928.571432
Luego la recta es:
y = 58.57142857 + (1928.571432 / 40000)(x-400)
y = 58.57142857 + 0.0482142858 (x-400)
y = 0.0482142858x + 39.28571425
b) La fórmula del error estándar es
$$S_{YX}= \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^nY_i^2-a \sum_{i=1}^nYi-b\sum_{i=1}^nX_iY_i}{n-2}}$$Nos falta calcular el sumatorio de los Yi^2 que no lo hicimos antes
40^2 + 2·(50^2 + 65^2 + 70^2) = 24850
$$\begin{align}&S_{YX}= \sqrt{\frac{24850-39.2857143·410-0.04821429·177500 }{5}}=\\ &\\ &\\ &\sqrt{\frac{184.820662}{5}}=6.079826125\end{align}$$c)
La producción prevista para 800 libras/acre es
y = 0.0482142858 · 800 + 39.28571425 = 77.8571463 bultos/acre
Y eso es todo.
