El cuadrado de ningún número racional es 15

Supongamos que existe x€Q : x^2=15

x=m/n

Podemos tomar m y n divididos por su máximo común divisor de modo que m y n sean primos entre sí.

m^2 / n^2 = 15

m^2 = 15 n^2

m^2 es múltiplo de 3, pero al ser cuadrado es múltiplo de 3^2 y por lo tanto m es múltiplo de 3

m^2 = 9k^2 = 15n^2

dividiendo entre 3

3k^2 = 5n^2

Y ahora tenemos que n^2 es múltiplo de 3, pero como es un cuadrado es múltiplo 3^2 y n es múltiplo de 3

Y hemos llegado a la conclusión de que m y n son múltiplos de 3. Pero eso es absurdo, porque entonces no son primos entre si y la hipótesis era que lo eran.

Luego no puede darse el caso de que existe x€Q tal que x^2=15.

Y eso es todo.