El cuadrado de ningún número racional es 15
Estaba demostrando este enunciado por reducción al absurdo pero me atoré y ya no se como terminarlo,
Supuse que existe x€Q : x^2=15-->
x=m/n
m^2/n^2=15
m=nv15
Pero se que como x€Q implica que mcd(m,n)=1
Y hasta ahí me quedé. Ojalá puedas ayudarme
Supongamos que existe x€Q : x^2=15
x=m/n
Podemos tomar m y n divididos por su máximo común divisor de modo que m y n sean primos entre sí.
m^2 / n^2 = 15
m^2 = 15 n^2
m^2 es múltiplo de 3, pero al ser cuadrado es múltiplo de 3^2 y por lo tanto m es múltiplo de 3
m^2 = 9k^2 = 15n^2
dividiendo entre 3
3k^2 = 5n^2
Y ahora tenemos que n^2 es múltiplo de 3, pero como es un cuadrado es múltiplo 3^2 y n es múltiplo de 3
Y hemos llegado a la conclusión de que m y n son múltiplos de 3. Pero eso es absurdo, porque entonces no son primos entre si y la hipótesis era que lo eran.
Luego no puede darse el caso de que existe x€Q tal que x^2=15.
Y eso es todo.
