Matrices definidas positivas .. Ayuda!

Sean A y B matrices nxn simétricas definidas positivas.

Que A+B es simétrica es inmediato.

Sea C = A+B

El elemento cij que es el elemento de la fila i y columna j es

cij = aij + bij

Y el elemento

cji = aji + bji

Pero como aij=aji y bij=bji tenemos

cji=aij+bij=cij

Luego es simétrica

Por definición de definida positiva, para cualquier vector X€Rn distinto de 0 se cumple:

x'Ax>0 y x'Bx>0

donde x' es x transpuesto

Veamos cual es el valor de x'(A+B)x

$$\begin{align}&(x´A)_i = \sum_{k=1}^n x_k·a_{ki}\\ &\\ &\\ &x´Ax = \sum_{l=1}^n (x´A)_l·x_l \\ &\\ &\\ &=\sum_{l=1}^n \left ( \sum_{k=1}^n x_k·a_{kl}  \right ) x_l\\ &\\ &\\ &=\sum_{l=1}^n \left ( \sum_{k=1}^n x_k·a_{kl}·x_l \right )\\ &\\ &\\ &=\sum_{k,l=1}^n \left ( x_k·a_{kl}·x_l \right ) \\ &\\ &\\ &\\ &\text{Y para la matriz B sucede lo  mismo}\\ &\\ &\\ &x´Bx =\sum_{k,l=1}^n \left ( x_k·a_{kl}·x_l \right ) \\ &\\ &\\ &\text{Y para la matriz A+B es}\\ &\\ &\\ &x´(A+B)x =\sum_{k,l=1}^n \left ( x_k·(a_{kl}+b_{kl})·x_l \right )=\\ &\\ &\\ &\sum_{k,l=1}^n \left ( x_k·a_{kl}·x_l +x_k·b_{kl}·x_l \right )=\\ &\\ &\\ &\sum_{k,l=1}^n \left ( x_k·a_{kl}·x_l \right ) + \sum_{k,l=1}^n \left ( x_k·a_{kl}·x_l \right ) =\\ &\\ &\\ &x´Ax+x´Bx > 0\\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Espero que haya salido bien lo del editor de ecuaciones porque no se ve.

Resumiendo:

x'(A+B)x = x'Ax + x'Bx > 0 para todo x distinto de cero porque son dos cifras mayores de cero, luego A+B es definida positiva.

Y eso es todo.