Ayuda con intervalo de confianza

Calcularemos el intervalo de confianza al 95% para la proporción que ha salido. El resultado es un intervalo en el cual tendremos que ver si entran los números 0.20, 0.22, 0.21 o 0.25 para ver que respuesta o respuestas son verdaderas.

La fórmula para el intervalo de confianza de una proporción es:

$$I=p_0\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}$$

po es la proporción obtenida de la muestra, en este caso

po = 133/539 = 0.246753468

n = 539

z sub alfa/2 es el más complicad. Se llama coeficiente de confianza.

Para empezar alfa es el complementario a 1 del nivel de confianza. Como el nivel de confianza es 95% = 0.95 tenemos

alfa=0.05

alfa/2 = 0.025

Entonces se define z sub 0.025 como el valor que en una distribución normal deja un 0,025 de probabilidad a su derecha. Para buscar esto en la tabla debemos plantearlo al revés, es decir, el valor que deja a si izquierda un 1 -0.025 = 0.975

Luego debemos buscar dentro de la tabla 9750 y el valor correspondiente de los márgenes ese es el z sub 0.025

Este valor es muy famoso, si lo buscas verás que es 1.96 y seguramente lo emplearás muchas veces.

Pues con todos estos datos volvemos a la fórmula del intervalo de confianza

$$\begin{align}&I=p_0\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}\\ &\\ &\\ &\\ &I=0.246753468\pm 1.96 \sqrt{\frac{0.246753468(1-0.246753468)}{539}}=\\ &\\ &0.246753468\pm 1.96 \sqrt{0.0003448350315}=\\ &\\ &0.246753468\pm 1.96 · 0.01856973429=\\ &\\ &0.246753468\pm 0.0363966792\\ &\\ &I=[0.2103567888,\;0.2831501472]\\ &\\ &\end{align}$$

Luego hay una confianza del 95% en que los ciudadanos con al menos un arma de fuego están dentro de ese intervalo que traducido a tantos por ciento es

Entre el 21.03% y el 28.31%

Y ahora revisamos las conclusiones para ver si son verdaderas:

a. Más del 20% de las familias tienen al menos un arma de fuego

VERDADERA son al menos el 21.03%

b. Menos del 22% de las familias tienen al menos un arma de fuego

FALSA, podrían ser hasta el 28.31%

c. Más del 25% de las familias tienen al menos un arma de fuego

FALSA, prodrian ser solo el 21.03%

d. Exactamente el 21% de las familias tienen al menos un arma de fuego

FALSA, hay un intervalo muy amplio entre el 21.03% y el 28.31%

Luego solo se puede concluir la conclusión a.

Y eso es todo.