Ejercicio variables aleatorias
Sea (X, Y) una v.a. Con función de densidad conjunta:
f(x,y)= ( 1; /y/ < x, 0<x<1
( 0; en el resto
Determina:
a). Si son independientes.
b). La covarianza.
1 respuesta
a) Para determinar si son independientes usaremos el teorema de que son independientes si y solo si la función de densidad es igual al producto de las funciones de densidad marginal.
La zona donde hay probabilidad no nula es un triángulo de este tipo <I
los vértices son (0,0) (1,1) y (1,-1)
Los intervalos de integración para la integral doble son en x el [0, 1] y en y el [-x, x]
Y el intervalo donde x depende de y, que se usa par la marginal de y es [|y|, 1]
$$\begin{align}&f_1(x) = \int_{-x}^{x}dy=y|_{-x}^x=2x\\ &\\ &f_2(y) = \int_{|y|}^1dx = 1-|y|\end{align}$$Ni que decir tiene que f1(x)·f2(y) está muy lejos de ser el 1 que es f(x,y). Luego las variables son dependientes.
b) Hay un teorema que dice
Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)·E(Y)
Calculemos esas esperanzas
$$\begin{align}&E(XY)=\int_0^1\int_{-x}^x xy\,dy\,dx=\\ &\\ &\\ &\int_0^1x\left[\frac{y^2}{2} \right]_{-x}^xdx=\int_0^1x\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^2}{2} \right)dx=\\ &\\ &\\ &\\ &\int_0^10dx = 0\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &E(X)=\int_0^1\int_{-x}^x x\,dydx=\int_0^1 x\left[y\right]_{-x}^x dx=\\ &\\ &\int_0^1 x[x-(-x)]dx=\int_0^1 2x^2dx =\\ &\\ &\left[\frac{2x^3}{3} \right]_0^1 = \frac 23\\ &\\ &\\ &\\ &E(Y)= \int_0^1\int_{-x}^xy\,dydx =\int_0^1 \left[\frac{y^2}{2}\right]_{-x}^xdx=\\ &\\ &\\ &\int_0^1\left( \frac{y^2}{2}-\frac{y^2}{2} \right)dx=\int_0^1 0dx = 0\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &Cov(XY) = 0 - \frac 23·0 = 0\\ &\end{align}$$Y eso es todo.
