Ejercicio variables aleatorias

a) Para determinar si son independientes usaremos el teorema de que son independientes si y solo si la función de densidad es igual al producto de las funciones de densidad marginal.

La zona donde hay probabilidad no nula es un triángulo de este tipo <I

los vértices son (0,0) (1,1) y (1,-1)

Los intervalos de integración para la integral doble son en x el [0, 1] y en y el [-x, x]

Y el intervalo donde x depende de y, que se usa par la marginal de y es [|y|, 1]

$$\begin{align}&f_1(x) = \int_{-x}^{x}dy=y|_{-x}^x=2x\\ &\\ &f_2(y) = \int_{|y|}^1dx = 1-|y|\end{align}$$

Ni que decir tiene que f1(x)·f2(y) está muy lejos de ser el 1 que es f(x,y). Luego las variables son dependientes.

b) Hay un teorema que dice

Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)·E(Y)

Calculemos esas esperanzas

$$\begin{align}&E(XY)=\int_0^1\int_{-x}^x xy\,dy\,dx=\\ &\\ &\\ &\int_0^1x\left[\frac{y^2}{2}  \right]_{-x}^xdx=\int_0^1x\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^2}{2}  \right)dx=\\ &\\ &\\ &\\ &\int_0^10dx = 0\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &E(X)=\int_0^1\int_{-x}^x x\,dydx=\int_0^1 x\left[y\right]_{-x}^x dx=\\ &\\ &\int_0^1 x[x-(-x)]dx=\int_0^1 2x^2dx =\\ &\\ &\left[\frac{2x^3}{3}  \right]_0^1 = \frac 23\\ &\\ &\\ &\\ &E(Y)= \int_0^1\int_{-x}^xy\,dydx =\int_0^1 \left[\frac{y^2}{2}\right]_{-x}^xdx=\\ &\\ &\\ &\int_0^1\left( \frac{y^2}{2}-\frac{y^2}{2} \right)dx=\int_0^1 0dx = 0\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &Cov(XY) = 0 - \frac 23·0 = 0\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.