Ayudame con este problema integral

Las integrales donde aparece un producto son candidatas a integrarlas por partes. Y donde hay un logaritmo neperiano se presta mucho a que sea la parte u de la integral porque al derivarla de convierte en 1/x y suele ayudar mucho.

$$\begin{align}&\int \sqrt x \,lnx\,dx=\\ &\\ &u = lnx \quad\quad\, du=\frac{dx}{x}\\ &dv = \sqrt x dx \quad v= \frac 23 \sqrt{x^3}\\ &\\ &= \frac 23 \sqrt{x^3}\,lnx- \frac 23\int \frac{\sqrt{x^3}}{x}dx=\\ &\\ &\frac 23 \sqrt{x^3}\,lnx- \frac 23\int \sqrt{x}dx=\\ &\\ &\frac 23 \sqrt{x^3}\,lnx- \frac 23 ·\frac 23 \sqrt{x^3}+C =\\ &\\ &\frac 23 \sqrt{x^3}\,lnx- \frac 49 \sqrt{x^3}+C \end{align}$$

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame las dudas que tengas y si ya está bien no olvides puntuar para tener derecho a futuras consultas.