Ayuda con este ejercicio
De la siguiente elipse:
$$25x^2+9y^2-50x+36y-164=225$$
Determine:
a. Centro
b. Focos
c. Vértices
1 respuesta
Pongamos la elipse en su forma canónica. Para empezar completamos cuadrados
(5x-5)^2 - 25 + (3y +6)^2 - 36 -164 = 225
(5x-5)^2 + (3y+6)^2 =225 + 164 +25 + 36
(5x-5)^2 + (3y+6)^2 = 450
Vamos a sacar fuera los factores constantes
25(x-1)^2 + 9(y+2)^2 = 450
En la parte derecha debe quedar 1, luego dividimos por 450 en los dos lados
[25(x-1)^2]/450 + [9(y+2)^2]/450 = 1
[(x-1)^2] / 18 + [(y+2)^2] / 50 = 1
Qué pena que los denominadores no sean cuadrados perfectos.
a) Bueno, el centro es (1, -2) sale de la ecuación canónica
b) El semieje en X mide sqrt(18) y el semieje en Y mide sqr(50). Al ser mayor este segundo. El eje longitudinal es paralelo al eje Y y la elipse tiene forma de huevo puesto de pie.
La semidistancia focal es la raíz cuadrada de la diferencia de cuadrados de los semiejes
c^2 = sqrt(a^2-b^2) = sqrt(50-18) = sqrt(32) = 4sqrt(2)
Restaremos y sumaremso esta distancia en vertical al centro para obtener los focos
f1 = (1 , -2-4sqrt(2))
f2 = (-1 , -2+4sqrt(2))
Y los vértices se obtienen restando y sumando al centro la longitud del semieje mayor en la dirección del eje
v1 = (1, -2 - sqrt(50)) = (-1, -2-5sqrt(2))
v2 = (1, -2 + sqrt(50) = (-1, -2+5sqrt(2))
Y eso es todo.
