Lógica matemática y Conjuntos Parte 5/5
Hola Valeroasm... Me podrías responder estas preguntas pero que la respuesta se vea un poco formal.
Sea S el conjunto de enteros, sea m cualquier entero positivo, y sea
$$a \Re b \Leftrightarrow a-b=nm$$
para algún
$$n \varepsilon S$$
Demuestre que es una relación de equivalencia en S.
Valeroasm espero que me puedas responder todas las preguntas que te he enviado. Muchas gracias enserio.
No olvido Puntuarte :)
1 respuesta
El conjunto de los números enteros tiene un nombre estándar que es Z, y se escribe con con palillo diagonal doble, lo que pasa es que aquí no se puede. Usaré Z en lugar se S
Una relación R en un conjunto C es de equivalencia si y solo si cumple estas tres propiedades
1) Reflexiva: (a R a) para todo a € C
2) Simétrica: si a R b entonces b R a para todos a,b € C
3) Transitiva: si aRb y bRc entonces aRc para todos a,b,c € C
Veamos si esa relación cumple las condiciones, por lo que veo m es un número fijo propio de la relación y n es el que debe existir
aRb <==> a-b = nm para algún n € Z
1) Reflexiva. Tomamos n=0, entonces a-a = 0·m, luego aRa
2) Simétrica. Sea aRb, entonces existe n tal que a-b = nm
basta que tomemos en número -n, entonces se cumple
b-a = - nm = (-n)m ==> bRa
3) Transitiva. Sea aRb y bRc.
Existen números j y k € Z tales que
a - b = jm
b - c = km
entonces, sumando miembro a miembro tenemos
a-b+b-c = jm + km
a-c = (j+k)m
j+K es un número de Z, luego aRc
Comprobado que se cumplen las tres propiedades concluimos que la relación R es de equivalencia en Z (antes llamado S).
Y eso es todo.
