Halla la ecuación de la circunferencia

Calculamos la mediatriz de esos dos puntos, todo centro de una circunferencia que contenga esos dos puntos está en la mediatriz.

La mediatriz es la recta de puntos que equidistan de esos dos. En lugar de usar la distancia usaremos la distancia al cuadrado para evitar las molestas raíces cuadradas desde el principio

(x-2)^2 + (y-2)^2 = (x+6)^2 + (y-2)^2

(x-2)^2 = (x+6)^2

|x-2| = |x+6|

si tomamos los signos tal cual aparecen sería un absurdo x-2=x+6 ==> -2 = 6, luego

x-2 = -x -6

2x = -4

x=-2

Esa es la mediatriz x= -2

Lo he resuelto por el método general, aunque viendo como on los puntos se podría haber hecho de otra forma

A(2,2) y B(-6,2) están a la misma altura luego la recta que los une es horizontal y la mediatriz será vertical. Y la coordenada x del punto medio será (2-6)/2 =-4/2 = -2

Y ahora calulamos la intersección de la mediatriz y la recta que nos dicen

x = -2

6x+5y-18 = 0

-12 + 5y - 18 = 0

5y - 30 = 0

5y = 30

y = 6

El centro es (-2,6)

Ahora calculamos el radio al cuadrado como la distancia al cuadrado del centro a uno de los dos puntos al (2,2) por ejemplo

r^2 = (-2 -2)^2 + (6-2)^2 = 16 +16 = 32

La ecuación canónica para el centro (a,b) es

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

(x+2)^2 + (y-6)^2 = 32

Si queremos la ecuación general

x^2 + 4x + 4 + y^2 -12y + 36 = 32

x^2 + y^2 + 4x - 12y + 8 = 0

Y eso es todo.