Evaluación de integrales, sumas de Riemann

Mirando hacia atrás he visto esta pregunta pendiente. Pues puede que el enunciado está mal, pero lo que pone es como si fuese 2x^2 + 4x asi que lo simplificamos

$$\begin{align}&S= \lim_{n\to\infty}\frac 3n \sum_{i=0}^{n-1}\left[2\left(-2+\frac{3i}{n}  \right)^2+4\left(-2+\frac{3i}{n}  \right)\right] =\\ &\\ &\\ &\lim_{n\to\infty}\frac 3n \sum_{i=0}^{n-1}\left(8-\frac{24i}{n}+ \frac{18i^2}{n^2}-8+\frac{12i}{n}\right)=\\ &\\ &\\ &\lim_{n\to\infty}\frac 3n \sum_{i=0}^{n-1}\left(-\frac{12i}{n}+ \frac{18i^2}{n^2}\right)=\\ &\\ &\\ &54\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=0}^{n-1}i^2}{n^3} -36\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=0}^{n-1}i}{n^2}=\end{align}$$

En aquella época que hice tantos ejercicios de estos calculamos muchas veces los sumatorios infinitos de i, i^2 e i^3 y llegamos a que

Sumatorio i desde 0 hasta n-1 era (n^2)/2 + algo de orden menor

Sumatorio i^2 desde 0 hasta n-1 era (n^3)/3 + algo de orden menor

Con ello lo que va a quedar es

$$\begin{align}&54\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^3}{3}}{n^3} -36\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^2}{2}}{n^2}=\\ &\\ &54·\frac 13-36·\frac 12=18-18=0\end{align}$$

Y haciéndolo con la integral es

$$\begin{align}&\int_{-2}^1 (2x^2+4x)dx =\left[\frac 23x^3+2x^2  \right]_{-2}^1=\\ &\\ &\frac 23+2+\frac{16}{3}-8 =\frac{18}{3}-6 = 6-6=0\end{align}$$

Y eso es todo.