Aplicación de funciones
Un comerciante compra un producto a 4 y lo vende a 10, a éste precio vende 1200 unidades a la semana pero quiere aumentar su utilidad semanal y haciendo un estudio determina que por cada 0.25 de incremento por unidad dejará de vender 20 unidades
a) hallar la función de utilidad en términos de números de incrementos de 0.25 en el precio de venta del producto
b) a que precio debe vender cada producto para obtener la máxima utilidad?
1 respuesta
La utilidad es el ingreso menos los gastos.
El ingreso va a depender del número de incrementos de precio. Calculamos primero el número de unidades que vende en función de número de incrementos
0 ----> 1200
1 ----> 1180
2 ----> 1160
3 ----> 1140
Es una función lineal decreciente muy sencilla de calcular
q(n) = 1200 - 20n
Por lo tanto el ingreso total será el precio por la cantidad.
IT(n) = (10+0.25n)(1200 - 20n)
y los gastos
CT(n) = 4(1200 - 20n)
La utilidad será
U(n) = (10+0.25n)(1200 - 20n) - 4(1200 - 20n) = (6+0.25n)(1200-20n) =
7200 - 120n + 300n - 5n^2 = 7200 + 180n - 5n^2
Resumiendo
U(n) = 7200 + 180n - 5n^2
b)
Para hallar el máximo derivamos la función e igualamos a 0
U'(n) = 180 - 10n =0
10n = 180
n = 18
Luego la utilidad máxima la obtiene subiendo 18 veces el precio, lo que nos da
10 + 18·0.25 = 10 + 4.5 = 14.5
La máxima utilidad la obtiene vendiendo a 14.50
Y eso es todo.
