Análisis matematico1, ejercicios secuencias
Sea Xn= 1+1/2+1/3+...+ 1/n
Probar que (Xn) no es acotado.
(se debe tener en cuenta que: X2n-Xn>1/2) eso lo dan de sugerencia.
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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$$\begin{align}&X_{2n}-X_n = \frac {1}{2n}+\frac{1}{2n-1}+ ...+\frac {1}{n+1} \ge\\ &\\ &n ·\frac{1}{n+1}= \frac{n}{n+1}\ge \frac 12\end{align}$$Basta con que sea n>1 para que la desigualdad sea estricta.
Entonces tomando límites tendremos
$$\begin{align}&\lim_{n \to \infty} (X_{2n}-X_n) > \frac 12\\ &\\ &\lim _{n \to \infty}X_{2n}-\lim_{n\to \infty}X_n \ge 1/2\\ &\\ &L - L \ge \frac 12\\ &\\ &\text{si L fuera un número finito tendríamos}\\ &\\ &0 \ge \frac 12\\ &\\ &absurdo.\end{align}$$Luego el limite no puede ser un número finito y Xn no está acotada.
Otra forma de demostrarlo sin usar esta técnica de igualar límites en el infinito.
X1 = 1
x2 >= X1+1/2 = 3/2
X4 > X2 + 1/2 = 4/2
X8 > X4 + 1/2 = 5/2
X16 > X8 + 1/2 = 6/2
X(2^n) > (n+2) / 2
lim n-->oo de X(2^n) = lim n -->oo de (n+2)/2 = oo
Y eso es todo.
