Resolver ecuaciones log=log neperiano

El exponente debe encerrarse entre paréntesis, sino se considera que solo tiene un termino

4^(x+1) + 2^(x+3) - 320 = 0

Pondremos el primer término con base 2. Basándonos en la propiedad

(a^b)^c = a^(bc)

tendremos

4^(x+1) = (2^2)^(x+1) = 2^[2(x+1)] = 2^(2x+2)

y la ecuación queda

2^(2x+2) + 2^(x+3) = 320

tenemos que 320 = 5·64 = 5·2^6

2^(2x+2) + 2^(x+3) = 5·2^6

Dividimos por 2^6

2^(2x+2-6) + 2^(x+3-6) = 5

2^(2x-4) + 2^(x-3) = 5

Ahora vamos a usar algo de Análisis

La función f(x) = 4^(x+1) + 2^(x+3) - 320 es continua por ser suma de continuas

La derivada es f '(x) = 4^(x+1)·ln4 + 2^(x+3)·ln2

Eso es siempre positivo, luego la función es siempre creciente.

en -oo el límite es -320 y en +oo el límite es +oo

Luego tiene una solución y es única.

Volvemos a la ecuación

2^(2x-4) + 2^(x-3) = 5

La suma de dos potencias de 2 que de 5 es 2^2 + 2^0 = 4+1 = 5

vamos a ver si esos exponentes pueden ser 2 y 0

2x-4 = 2 ==> 2x = 6 ==> x=3

y el segundo exponente es

x-3 = 3 - 3 = 0

Luego se cumple, por tanto hemos encontrado una respuesta que es la única

x = 3

Vamos a comprobarla

4^(3+1) + 2^(3+3) - 320 =

4^4 + 2^6 - 320 =

256 + 64 - 320 = 0

Está bien.

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log(4+x) + log (4-x) = 2log (3x-4)

Las propiedades de los logaritmos dicen

log a + log b = log(ab)

a·log b = log(b^a

con todo esto queda

log[(4+x)(4-x)] = log[(3x-4)^2]

(4+x)(4-x) = (3x-4)^2

16-x^2 = 9x^2 - 24x + 16

10x^2 - 24x = 0

Tenemos una solución que es x = 0

simplificamos y queda

10x -24 = 0

10x = 24

x = 24/10 = 12/5

Luego las dos soluciones son

x=0 , x=12/5

Como puedes ver no se ha hecho uso especial de que fuera logaritmo neperiano, la solución sirve para cualquier logaritmo.

Y eso es todo.