Calcular la integral mediante sustitución trigonométrica para cada caso

Según la forma del interior del radical hay cambios predeterminados

Si la forma es

m^2·x^2 - n^2 el cambio es x=n/(m·cost)

Los otros cambios son

m^2·x^2 + n^2 el cambio x=n·tgt/m

n^2 - m^2·x^2 el cambio x=n·sent/m

Para este es el primero que decíamos

$$\begin{align}&\int \frac{dx}{x^2\sqrt {x^2-9}}=\\ &\\ &x=\frac{3}{cost}\quad dx=3 \frac{sent}{\cos^2t}dt\\ &\\ &3\int \frac{\frac{sent}{\cos^2t}}{\frac{9}{\cos^2t}\sqrt{\frac{9}{\cos^2t}-9}}dt=\\ &\\ &\\ &\frac 13\int \frac{sent}{\sqrt{\frac{9-9cos^t}{\cos^2t}}}dt=\\ &\\ &\\ &\frac 13\int \frac{sent}{\frac{3sent}{cost}}dt=\\ &\\ &\frac 19 \int cost dt= -\frac 19sent+C\\ &\\ &\\ &\text{Y ahora hay que deshacer el cambio}\\ &\text{Como cost=} \frac 3x\implies \\ &\\ &sent=\sqrt{1-\frac{9}{x^2}}=\frac{\sqrt{x^2-9}}{x}\\ &\\ &\text{luego la integral es}\\ &\\ &=\frac{\sqrt{x^2-9}}{9x}+C\\ &\\ &\end{align}$$

Y eso es todo a falta del rectángulo asociado que no sé lo que es.