Límite para valeroasm

lim x-->0 de [1-2x]^(3/x)

Puedes ver que la base tiende a 1 mientras que el exponente tiende a infinito, eso es

1^Oo que es una indeterminación. Para resolverlas se usa el numero e.

El número e tiene dos definiciones que nos importan

e = lim n-->oo de (1 + 1/n)^n

e = lim h-->0 de (1 + h)^(1/h)

Como ves, consiste en poner lo que hay detrás del 1 de forma que sea inverso al exponente.

Si en vez de 1/n o h hay un mogollón da lo mismo, da lo mismo, siempre que en el exponente tengamos el inverso de ese mogollón. Entonces consiste en jugar con lo que hay detrás del 1 y el exponente de manera que el exponente contenga el inverso.

Vamos a verlo:

Tenemos -2x, tendremos que tener un -2x en el denominador del exponente, como solo tenemos una x podemos multiplicar y dividir por -2 el exponente. El exponente sigue siendo el mismo pero lo estamos modelando

(1 - 2x)^(3/x) = (1 - 2x)^[-2·3/(-2x)]

Ahora hay que hacer uso de una propiedad de los exponentes que es

a^(bc) = (a^b)^c

Mediante esa propiedad dejaremos en el primer exponente el inverso de lo que hay en la base y en el segundo exponente el resto

(1 - 2x)^[-2·3/(-2x)] = {(1-2x)^[1/(-2x)]}^(-2·3)

Cuando tomemos el límite, lo de la llave será la definición del número e, lo podremos sustituir por e.

lim x-->0 {(1-2x)^[1/(-2x)]}^(-2·3) = e^(-6)

Y eso es todo, es siempre el mismo método practicando unos cuantos se aprende a hacerlo.