Ejercicio 3 pagina 119 libro calculo vectorial de Tromba
Tengo el siguiente los siguientes ejercicios ( realmente son muchos ( 50 cuento yo), solo tengo hasta el miércoles 12 de febrero para resolverlos, estoy corto de tiempo para terminarlos y adema debo presentar un examen y necesito de tu ayuda, aunque con lo que tu me puedas ayudar es suficiente y me defenderé con eso. Te los enviaré por separado en cada pregunta y no estoy pidiendo que los tengas que resolver todos pero en lo que me puedas ayudar estaré muy agradecido. También te voy a pasar el texto guía de la teoría y de donde sacaron los ejercicios. Aquí esta:
https://www.dropbox.com/sh/gwlgizp7i9g90f7/EPEdVzwf-P/Tromba.%202004.%20Calculo%20Vectorial.pdf
y el primer ejercicio es el numero 3 de la imagen:
1 Respuesta
¡Qué pena de escaneo del libro! Hay muchas cosas incomprensibles como algunos subíndices pequeños no habituales y los textos en cuadros con color.
Un conjunto es abierto si todo punto de él tiene una bola de radio r completamente incluida dentro del conjunto
1) A={(x,y) | -1<x <1, -1<y<1}
Dado un punto (xo, yo)€A
tomamos r = mín{1-xo, 1-yo, xo+1, yo+1}
El disco D con centro en (xo, yo) y radio r está contenido en A, ya que dado
(x1, y1) € D
|x1-xo| < r ==> -r < x1-xo < r ==> xo-r < x1 < r+xo
como r <=1+xo ==> -r >= -(1+xo) ==> -(1+xo) <=-r
volvemos a la expresión anterior
-1 = xo-(1+xo) <= xo-r <x1 < r+xo
-1 < x1 < r+xo
y como r <= 1-xo
-1 < x1 < r+xo <= 1-xo + xo = 1
luego
-1 < x1 < 1
Y análogamente se demuestra
-1 < y1 < 1
Con lo cual todo elemento (x1, y1) € D pertenece también a A, y D está incluido en A y por lo tanto A es un abierto.
2) B = {(x,y) | y>0}
Dado (xo,yo) € B tomamos r = yo
Sea D el disco con centro (xo,yo) y radio r=yo
Sea (x1,y1) € D
|y1-yo| < yo
-yo < y1 - yo < yo ==>
0 < y1 < 2yo
como y1>0 ==> (x1,y1) € B luego D incluido en B y B esa un abierto.
Y eso es todo.
