Operaciones con Números complejos matemáticas
Buenas noches,
Tengo el siguiente ejercicio (1-i)^4 y lo desarrollo asi [(1-i)^2]^2,
pero tengo el siguiente ejercicio y no se como desarrollarlo (i+2)^5
Gracias por la atención!!!
1 Respuesta
Lo has desarrollada bien. Aunque si conoces la fórmula del binomio de Newton para cualquier exponente puedes hacerlo directamente. Vamos a hacerlo de ambas maneras y te fijas cuál te resulta más fácil. Por el método directo:
$$\begin{align}&(a+b)^n = a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b+\binom{n}{2}a^{n-2}b^2+...+ b^n\\ &\\ &(a+b)^4 = a^4 + 4 a^3b+6 a^2b^2+4ab^3+b^4\\ &\\ &(1-i)^4 = 1 -4i +6i^2-4i^3+i^4=\\ &\\ &1-4i - 6+4i+1 = -4\end{align}$$En dos pasos
(1-i)4 = [(1-i)²]² = (1+i² -2i)² = (1-1-2i)² = (-2i)² = 4i² = -4
Y respecto al segundo, o hacemos el cálculo directo o este otro que sería el más sencillo entre los indirectos
(i+2)5 =[(i+2)²](i+2)
Por supuesto que para el método directo hay q
$$\begin{align}&(i+2)^5= i^5+5i^4·2+10i^3·4+ 10i^2·8+ 5i·16 + 32 =\\ &i+10-40i-80+80i + 32 = -38 +41i\end{align}$$
Vaya, se mandó sola la respuesta mientras escribía la línea anterior a la resolución, escribiré esas líneas que faltan
Por supuesto que para el método directo hay que conocer las potencias de i que son
i² = -1
i³ = -i
i4 = 1
i5 = i
i6 = i² = -1
Cada potencia de i es la misma que si le restamos 4 unidades al exponente.
Y el método indirecto sería
(i+2)^5 =[(i+2)²]²(i+2) =
Antes hubo un fallo de Linux al representar el exponente 5 (que a mi me aparece correcto pero luego no lo pone bien al mandar) y me olvidé poner un exponente 2.
Calculamos aparte para no tener que escribir todo en cada paso
(i+2)² = i² + 4 +4i = -1+4+4i = 3+4i
(3+4i)² = 9 + 16i² + 24i = 9-16+24i = -7+24i
Y finalmente
(-7+24i)(i+2) = -7i -14 + 24i² + 48i = 41i -14 -24 = -38 + 41i
Está vez a mi me resulto más cómodo el método directo, pero si no tienes soltura con el binomio de Newton usa el indirecto.
Y eso es todo.
