Análisis ... Ejercicios del bartle 1

Supongamos a < a'

Tomemos el punto intermedio

(a+a')/2

su posición es

a < (a+a')/2 < a'

(a+a')/2 € I pero no pertenece a I'

lo cual es absurdo porque I estaba incluido en I'

Supongamos b > b'

Tomamos el punto intermedio y lo situamos en su sitio

b' < (b+b')/2 < b

El punto (b+b')/2 no pertenece a I' pero si pertenece a I. Eso es absurdo porque I está incluido en I'.

Luego no puede cumplirse ninguna de las dos cosas que han dado absuro y por lo tanto debe cumplirse

a >= a' y b <= b'

Veo que el primero lo habían puesto al reves en el enunciado, lo pongo de la misma manera

a' <= a y b <= b'

Y en el otro sentido. Si se cumple eso sea x € I

a <= x <= b

Añadimos en los extremos a' y b' que se pueden poner por el orden que tienen con a y b

a' <=a <= x <= b <= b'

luego

a' <= x <= b'

luego x € I'

Yeso se cumple para cualquier x € I

Luego I incluido en I'

Y eso es todo.