Ecuaciones diferenciales reducción de orden
determine una segunda solución en cada ecuación diferencial del problema. Usar la reducción de orden
y'' + 2 y' + y = 0
y1 = x. E^(-x)
yo lo estoy resolviendo de la siguiente forma:
y2 = u(x).y1(x)
y2 = u. Xe^(-x)
y'2 = u'.x.e^(-x) +ue^(-x) - uxe^(-x)
y''2 = u''.x.e^(-x) + 2.u'.e^(-x) - 2.u'.x.e^(-x) - 2.u.e^(-x) - u.x.e^(-x)
en la ecuación diferencial
y'' +2y' +y = 0
[u''.x.e^(-x) + 2.u'.e^(-x) - 2.u'.x.e^(-x) - 2.u.e^(-x) - u.x.e^(-x)] + 2 [u'.x.e^(-x) +u.e^(-x) - uxe^(-x)] + [u. Xe^(-x)] = 0
al resolver esto me da lo siguiente:
u''xe^(-x) + 2u'e^(-x) - 2uxe^(-x) = 0
lo siguiente que hay que realizar es otra sustitución de acuerdo al tema
w = u'
w' = u''
sustituyendo me da lo siguiente:
w'.x.e^(-x) + 2.w.e^(-x) - 2[integral de w dx] xe^(-x) = 0
al factorizar mas:
e^(-x) [ w' x + 2w -2(integral w dx) ] = 0
w' x + 2w -2(integral w dx) = 0
mi duda para seguir el ejercicio es la integral de w no se como seguir y encontrar u(x) para poder encontrar la otra solución de y2 o no se que se puede hacer con eso si se realizar de otra forma por favor me podrías ayudar con esto muchas gracias!!!!
Creo que te ha equivocado en el cálculo de y2'' en el último térrmino
y2 = u. xe^(-x)
y2' = u'.x.e^(-x) +ue^(-x) - uxe^(-x)
y2'' = u''xe^(-x) + u'[e^(-x)-xe^(-x)] + u'e^(-x) - ue^(-x) - u'xe^(-x) - u[e^(-x)-xe^(-x)] =
u''xe^(-x) + 2u'e^(-x) - 2u'xe^(-x) - 2ue^(-x) + uxe^(-x)
Y como y2 debe cumplir la ecuación
y'' +2y' +y = 0
entonces
u''xe^(-x) + 2u'e^(-x) - 2u'xe^(-x) - 2ue^(-x) + uxe^(-x) + 2u'xe^(-x) +2ue^(-x) - 2uxe^(-x) + uxe^(-x) = 0
u''xe^(-x) + 2u'e^(-x) = 0
Aquí ves la diferencia en que tenías un termino de más que lo fastidiaba todo
Llamando
w=u'
w'=u''
w'xe^(-x) +2we^(-x) = 0
w'x + 2w = 0
w'x = -2w
w'/w = -2/x
ln w =-2lnx
ln w = 2ln(1/x) = ln(1/x^2)
w = 1/x^2 + C
u = $wdx = $(1/x^2 + C) dx = -1/x + Cx +D
con lo cual
y2 = (-1/x +Cx+D)xe^(-x)
y2= -e^(-x) + Cx^2·e^(-x) + Dxe^(-x)
Si simplemente nos piden una tomemos la más fácil
y2= -e^(-x)
Y eso es todo.
