Integral de Riemann-Stieltjes

En la integral de Riemann-Stieltjes, si el integrador es una función con derivada continua, podemos derivarlo y multiplicar por dx para obtener una integral de Riemann

d(sen(x)) = cosx·dx 

$$\begin{align}&\int_0^{\pi}\cos x\;d(sen(x))=\\ &\\ &\int_0^{\pi}\cos x·\cos x\;dx=\\ &\\ &\int_0^{\pi}\cos^2x\;dx=\\ &\\ &\int_0^{\pi}\frac{1+\cos 2x}{2}dx=\\ &\\ &\left[ \frac x2 +\frac {sen 2x}{4} \right]_0^{\pi}=\frac {\pi}{2}+0-0-0=\frac{\pi}{2}\end{align}$$

Y eso es todo.