Como desarrollo la derivada

Creo que el problema no es de derivadas sino de integrales.

$$\begin{align}&\int sec(ax)dx=\\ &\\ &\text{multiplicamos y  dividimos por sec(ax)+tg(ax)}\\ &\\ &\int \frac{sec(ax)[sec(ax)+tg(ax)]}{sec(ax)+tg(ax)}dx=\\ &\\ &\int \frac{sec^2(ax)+sec(ax)tg(ax)}{sec(ax)+tg(ax)}=\\ &\\ &t=sec(ax)+tg(ax)\\ &\\ &dt= [a·sec(ax)tg(ax)+a·sec^2(ax)]dx=\\ &\\ &=\int \frac{dt}{at}=\frac{lnt}{a}+C =\\ &\\ &\frac 1a ln[sec(ax)+tg(ax)]+C=\\ &\\ &\frac 1a ln\left[ \frac {1}{\cos(ax)}+ \frac{sen(ax)}{\cos(ax)}\right]+C=\\ &\\ &\frac 1a ln\left[ \frac {1+sen(ax)}{\cos(ax)}\right]+C=\\ &\\ &\frac 1a ln\left( \sqrt{\frac {[1+sen(ax)]^2}{\cos^2(ax)}}\right)+C=\\ &\\ &\frac 1a ·\frac 12 ln\left( \frac {[1+sen(ax)]^2}{\cos^2(ax)}\right)+C=\\ &\\ &\frac 1{2a} ln\left( \frac {[1+sen(ax)]^2}{1-sen^2(ax)}\right)+C=\\ &\\ &\frac 1{2a} ln\left( \frac {[1+sen(ax)]^2}{[1+sen(ax)][1-sen(ax)]}\right)+C=\\ &\\ &\frac 1{2a} ln\left[ \frac {1+sen(ax)}{1-sen(ax)}\right]+C\end{align}$$