Derivadas de una función y su representación por medio de la Serie de Taylor

Ni yo me acuerdo cual es la derivada del logaritmo en base 10. Supongo que quieren decir el logaritmo neperiano como en todos los libros de influencia anglosajona.

Calculamos la derivada

ln'(1+x) = 1/(1+x)

Y eso es la suma de una serie geométrica

ln'(1+x) = 1/(1+x) = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 +....... para -1<x<1

Y ahora integramos término a término

ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + x^5/5 - x^6/6 + ... para -1<x<1

$$ln(1+x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}\quad(-1\lt x\lt 1)$$

Y eso es todo.