Pregunta de calculo vectorial 1

Pdl!

No entiendo la expresión:

"Se tiene en las esquinas de un cuadrado 4 moscas, ambas van en una de otra"

Si son cuatro moscas no son ambas, ambas significa dos. ¿Podrías explicarme mejor el movimiento que describen? ¿Cuál va pesiguiendo a cual o si si van a chocar en el centro?

La verdad que no entendí nada.

Gráfica un cuadrado y enumera 1,2,3,4 en un mismo sentido, ahora 1 persigue a 2,2 persigue a 3,3 persigue a 4, y 4 persigue a 1.Por simetría las moscas describen la misma trayectoria, te pido que halles la ecuación de la curva, la gráfica de la curva y si es conocida la curva el nombre de la curva.

Saludos.

No es un problema fácil este de las moscas.

Cada mosca tiene el vector velocidad apuntando hacia la mosca que le precede. El vector velocidad es la derivada de la curva que recorren. Las curvas las damos paramétricamente

(x(t), y(t))

Y se forman estas ecuaciones diferenciales. Las dos primeras veces pondré la variable de la función, después fuera que molesta mucho

$$\begin{align}&(x_1´(t),\;y_1´(t))= \frac{k((x_2-x_1,y_2-y_1)}{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}\\ &\\ &(x_2´,\;y_2´)= \frac{k((x_3-x_2,y_3-y_2)}{\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}}\\ &\\ &(x_3´,\;y_3´)= \frac{k((x_4-x_3,y_4-y_3)}{\sqrt{(x_4-x_3)^2+(y_4-y_3)^2}}\\ &\\ &(x_4´,\;y_4´)= \frac{k((x_1-x_4,y_1-y_4)}{\sqrt{(x_1-x_4)^2+(y_1-y_4)^2}}\end{align}$$

Esto en realidad son 8 ecuaciones diferenciales porque cada una tiene dos componentes. Y no habría quien lo resolviera.

Ahora, con la condiciones iniciales vamos a simplificar bastante. He puesto el cuadrado centrado en el origen y los vértices asi.

(1,1) mosca 1

(1,-1) mosca 2

(-1,-1) mosca 3

(-1,1) mosca 4

Es decir en sentido de las agujas del reloj.

Y hay algunas simetrías que resultan obvias en las trayectorias que van a hacer. La mosca 3 hará lo mismo que la una pero con simetría por el centro es decir con los signos de x(t) e y(t) opuestos a los de la mosca 1

Y la mosca 4 hará lo mismo que la 2 con los signos cambiados, luego podemos calcular solo las trayectorias de la mosca 1 y la 2. Con esto cambiando x3 por -x1 e y3 por -y1 quedaría:

$$\begin{align}&(x_1´,\;y_1´)= \frac{k(x_2-x_1,y_2-y_1)}{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}\\ &\\ &(x_2´,\;y_2´)= \frac{k(-x_1-x_2,-y_1-y_2)}{\sqrt{(-x_1-x_2)^2+(-y_1-y_2)^2}}\end{align}$$

Pero aun así es muy complicado ese sistema de ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones diferenciales pueden parecer muy simples y ser complicadísimas de resolver.

Entonces yo he intuido otra simplificación no tan clara pero de la que estoy seguro.

Lo que hace la mosca 1 en el eje X es lo que hace la mosca 2 en el eje Y pero con signo contrario y lo que hace la mosca 1 en el eje Y es lo que hace la mosca 2 en el eje X con el mismo signo. Es cuestión de dibujar los ejes, las moscas, moverlas y ver que es así.

Con esto logramos una segunda simplificación. Haciendo

Y2 = -X1

Y1 = X2

$$\begin{align}&(x_1´,\;x_2´)= \frac{k(x_2-x_1,-x1-x_2)}{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(-x_1-x_2)^2}}\\ &\\ &\text{Que son dos ecuaciones diferenciales que aun no he resuelto}\\ &\\ &\\ &x_1´= \frac{k(x_2-x_1)}{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(x_1+x_2)^2}}\\ &\\ &\\ &x_2´= \frac{-k(x1+x_2)}{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(x_1+x_2)^2}}\end{align}$$

Bueno, da lo mismo pero lo mas natural hubiera sido dejar las ecuaciones de x1 e y1, puede que después lo cambie, pero ahora tengo que dejar corriendo el ordenador. Cuando pueda lo continuaré, de momento no sé hacerlo y tengo mucho trabajo de preguntas.

Nada, esa ecuación diferencial es demasiado complicada de resolver. Asi que olvidate de la ecuación de la trayectoria. Puedes obtener aproximaciones tomando intervalos cortos de tiempo y calculando laa posiciones en cada uno. Es parecido al diafragma de una cámara, las moscas forman un cuadrado inclinado inscrito en el anterior. Ahora bien el tamaño exacto de ese cuadrado en cada instante es lo complicado de calcular. Puede que haya algún método sencillo para resolverlo, pero no doy con él.