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a) Existe una aplicación biyectiva f de X en el conjunto Ix = {1, 2, ..., card X} y una aplicación biyectiva g de Y en Iy = {1,2,..., card Y}
Y se puede establecer una aplicación inyectiva h de Iy en Ix de esta forma
h(n) = f[g^-1(n)]
Veamos que es inyectiva, sea h(n) = h(m)
f[g^-1(n)] = f[g^-1(m)]
como f es biyectiva a igual imagen corresponde igual origen
g^-1(n) = g^-1(m)
Y g es biyectiva y por tanto g^-1 también y a igual imagen corresponde el mismo origen
n=m
Luego es inyectiva. Y si es inyectiva significa que el conjunto Iy está contenido en Ix y el cardinal de Y es menor que el de X.
Ciertamente no se si haría falta tanto derroche de razonamientos para algo que se ve. Y en el peor de los casos no sé si los que he dado serían suficientes para los más puristas. El autor de l libro se embarca en unos senderos muy estrechos y el libro es horrible. Nunca he visto que las demostraciones se hagan con puntos y seguidos todo apelotonadas, hay que poner puntos y aparte entre las expresiones que si no no se entera uno de nada.
¡Ah espera, que aun quedan dos partes de la pregunta!
b) Si X e Y son finitos tenemos biyecciones f y g en dos conjuntos In e Im, donde
n = Card X
m = Card Y
Establecemos la siguiente aplicación h de X U Y en Ip donde p=n+m
Si i € X ==> h(i) = f(i)
Si i no€ X ==> h(i) = g(i)+n
Puede comprobarse que es una aplicación inyectiva en un conjunto finito, luego el conjunto origen es finito.
La aplicación h de X U Y en Ip es biyectiva para los elementos de X en los primeros n elementos de Ip mientras que para la parte de Y en los m elementos últimos puede no serlo, si quitamos los elementos que no tienen origen quedará una aplicación biyectiva. Y cuantos elementos debemos quitar, los elementos de Y que no tiene imagen del tipo g(i)+n son los que ya la tenían del tipo f(i) por pertenecer también a X. Luego los elementos que quitaremos son card(XnY). Con esto la aplicación sera biyectiva y el cardinal del conjunto imagen será Card X + Card Y - Card(XnY).
Tal vez sería mejor hacerlo considerando X U Y como X U (Y-X), entonces saldría mas inmediato porque los dos conjuntos son disjuntos y sale directamente una aplicación biyectiva. Siempre que antes se hubiera demostrado que:
Car(Y-X) = Card Y - Card( Y n X)
Que yo sé hasta que punto quieren de rigurosa la demostración de eso.
La verdad es que agota el demostrar estas cosas sencillas que no precisarían demostración, me voy a dormir.
