Solución ejercicio 6 pag 526

Por la definición de

F = -r / ||r||^3

habíamos concluido que F era

$$F(x,y,z) = -\frac{x}{\sqrt{(x^2+y^2+z^2)^3}}i -\frac{y}{\sqrt{(x^2+y^2+z^2)^3}}j -\frac{z}{\sqrt{(x^2+y^2+z^2)^3}}k$$

Y la función 1/r es:

$$\begin{align}&\frac 1r=\frac{1}{||r||}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\ &\\ &\text{cuyo gradiente es}\\ &\\ &\nabla \left(\frac 1r\right)=-\frac 12(x^2+y^2+z^2)^{-3/2}·2x\,i-\frac 12(x^2+y^2+z^2)^{-3/2}·2y\,j-\frac 12(x^2+y^2+z^2)^{-3/2}·2z\,k=\\ &\\ &\\ &\\ &-\frac{x}{\sqrt{(x^2+y^2+z^2)^3}}i-\frac{y}{\sqrt{(x^2+y^2+z^2)^3}}j-\frac{z}{\sqrt{(x^2+y^2+z^2)^3}}k\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Luego es verdad.

Es independiente de la trayectoria en el sentido de que el trabajo necesario para llevar una partícula desde (xo, yo, zo) hasta el infinito es el mismo se haga por el camino que se haga.

Y eso es todo.