Problema de calculo, ayuda!
un corredor corre 10 km en 30 min.demostrar que a lo largo de su recorrido el corredor corrió un kilómetro en 3 minutos exactos
La idea es utilizar teoremas y definiciiones de calculo integral, no se refiere a sacar un promedio entre el tiempo recorrido y la distancia, si no encontrar un intervalo de 3 minutos en el que corrió 1 kilómetro exacto
Muchas gracias, agradeceré toda la ayuda posible :)
1 Respuesta
El corredor tiene una función de espacio recorrido s(t)
Consideramos la función
f(t) = s(t) - s(t-3)
definida en [3, 30]
que indica los kilómetros recorridos en los 3 últimos minutos.
Debemos demostrar que existe un tiempo t en cual f(t)=1
Fijémonos que
s(30) = s(30)-s(0) =
[s(30) - s(27)] + [s(27) - s(24)] + [s(24) -s(21)] + .... + [s(3)-s(0)] =
f(30) + f(27) + f(24) + ...+ f(3)
que es la suma de 10 valores de la función f
Supongamos que f(t) < 1 siempre
entonces
s(30) < 1+1+1 + ...+ 1 = 10
s(30) < 10
Y si f(t) es siempre > 1 tendremos
s(30) > 10
Luego debe haber puntos donde f(t) < 1 y otros f(t) < 1
La función s(t) se supone continua, el corredor no puede correr a una velocidad infinita ni recorrer una distancia finita en 0 minutos.
Luego f(t) también es continua.
Y hay un teorema que una función continua en un compacto toma todos los valores intermedios entre los valores de los extremos. Es decir dado un punto a donde f(a)<1 y otro donde f(b)>1 (o con los signos de desigualdad cambiados ambos) existe un punto c€ (a, b) tal f(c)=1
Luego algún punto habrá donde f(t)=1 en [3, 30] y eso significa que entre t-3 y t habrá recorrido 1km, luego habrá recorrido 1 km en 3 minutos.
Y eso es todo.
