Considerando la función tanh x demuestre que:

En los libros bien traducidos al español se usaba th para la tangente hiperbólica y argsh para el argumento de la tangente hiperbólica que la inversa de th, pero me parece que la batalla con el inglés está perdida en los tiempos actuales.

Pondremos la expresión de thx y despejaremos la x eso nos dará la función inversa en función de y que cambiando el nombre de la variable nos dará la función inversa en función de x

$$\begin{align}&y=thx=\frac{shx}{chx}=\frac{\frac{e^x-e^{-x}}{2}}{\frac{e^x+e^{-x}}{2}}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\\ &\\ &\text{Multiplicamos numerador y denominador por }e^x\\ &\\ &y= \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\\ &\\ &ye^{2x}+y = e^{2x}-1\\ &\\ &ye^{2x}-e^{2x}= -y-1\\ &\\ &e^{2x}(y-1) = -y-1\\ &\\ &e^{2x} = \frac{-y-1}{y-1}= \frac{1+y}{1-y}\\ &\\ &2x = ln \frac{1+y}{1-y}\\ &\\ &x= \frac 12 ln \frac{1+y}{1-y}=ln \sqrt{\frac{1+y}{1-y}}\\ &\\ &\text{y cambiando la variable}\\ &\\ &arg\;thx = ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\end{align}$$

Y ese es el auténtico valor de la inversa de la tangente hiperbólica o en todo caso sin raíz y con el 1/2 delante. El enunciado estaba mal. Aui puedes confirmar el valor:

Wikipedia arg tanh(x)

Y eso es todo.