Función de demanda, determinar excedentes

Cuando la función no es lineal el cálculo debe hacerse con integrales. Cuando hubo un momento que me mandaron varias preguntas de este tipo usaba las fórmulas:

$$\begin{align}&ep = \int_0^{q_0}(p_0-f(q))dq\\ &\\ &\\ &\\ &ec = \int_0^{q_0}(d(q)-p_0)dq\\ &\\ &\\ &\\ &\text {que son equivalentes a estas: }\\ &\\ &ep = p_0q_0 -\int_0^{q_0}f(q)dq\\ &\\ &\\ &\\ &ec = \int_0^{q_0}d(q)dq -p_0q_0\end{align}$$

La adaptación que hay que hacer es poner q en lugar de x en las funciones que me diste.
d(q) es la función de la demanda y f(q) la de la oferta.
En resumen, las funciones demanda y oferta quedarán asi

$$\begin{align}&d(q) = \sqrt{49-6q}\\ &\\ &f(q) = q+1\end{align}$$

Primero hay que calcular el punto de equilibrio (po, qo)

$$\begin{align}&\sqrt{49-6q} = q+1\\ &\\ &49-6q = (q+1)^2\\ &\\ &49-6q = q^2 + 2q +1\\ &\\ &q^2 + 8q - 48 = 0\\ &\\ &\text{Resolvemos la ecuación de grado 2}\\ &\\ &q = \frac{-8 \pm \sqrt{64+192}}{2} =\\ &\\ &q = \frac{-8 \pm \sqrt{256}}{2} =\\ &\\ &(-8 \pm 16) / 2 =\\ &\\ &\text {-12 y 4}\\ &\\ &\text {Solo la positiva nos sirve, luego}\\ &\\ &q_0 = 4\\ &\\ &p_0 = q_0+1 = 5\end{align}$$

Y ahora hacemos las integrales:

$$\begin{align}&ec = \int_0^4 \sqrt{49-6q}·dq-4·5 =\\ &\\ &-\frac{2}{3}\frac{1}{6} \left [ (49-6q)^{3/2} \right ]_0^4-20=\\ &\\ &-\frac{1}{9}(25^{3/2}-47^{3/2})-20 =\\ &\\ &-\frac{1}{9}(25^{3/2}-47^{3/2}) -20= \\ &\\ &\frac{218}{9}-20=4.222...\end{align}$$

Luego el excedente del consumidor es 4.222... y el excedente del productor es 8.

Y eso es todo.