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find the orthogonal trajectories of the family of curve por ala 2 - y ala 2 igual a ex
1 respuesta
El enunciado no salió bien, pero creo que quieres decir el problema 9.39 que era encontrar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas x^2 - y^2 = cx
Y en el 9.20 te explican como se realiza.
Primero realizan una derivación implícita respecto a x
2x - 2y(dy/dx) = c
Ahora sustituyen c por el valor que se obtiene despejando c en la ecuación de la familia
c = (x^2-y^2) / x
luego tenemos
2x - 2y(dy/dx) = (x^2-y^2) / x
-2y(dy/dx) = (x^2-y^2)/x -2x = (x^2-y^2-2x^2)/x = -(x^2+y^2)/x
dy/dx = (x^2+y^2) / (2xy)
Esa es la pendiente que tiene la curva de la familia que pasa el punto (x, y). Entonces la curva ortogonal en (x, y) tiene esa misma pendiente pero inversa y negativa, o sea
dy/dx = -2xy / (x^2+y^2)
Y resolviendo esta ecuación diferencial se encuentra la familia de curvas ortogonales.
Es una ecuación homogénea ya que f(ax, ay) = f(x, y) y en estos casos está estudiado teóricamente que el cambio
u=y/x
Resuelve la ecuación.
Lo expresamos como
y=ux
que es más práctico y vamos a aplicarlo
dy/dx = (du/dx)x + u = -2xux / (x^2 + u^2x^2)
x(du/dx) + u = -2x^2 / [x^2(1+u^2)] = -2/(1+u^2)
x(du/dx) = -2/(1+u^2) - u = (-2-u-u^3) / (1+u^2)
-[(1+u^2) / (u^3+u+2)]du = dx/x
Y ahora habría que integrar en ambos lados, en el derecho es fácil, sale ln(x), pero el izquierdo no es tan sencillo. La factorización del denominador es (u+1)(u^2+u+2) las integrales simples serán las de
a/(u+1) + (bu+c)/(u^2+u+2)
donde debemos calcular a,b y c
¿Te sientes capaz de hacer esa integral racional?
Si no, dímelo.
no me sale
Con razón no iba a salir nada, me equivoque bastante pronto y ha salido un problema muy difícil. Perdona. Yo también me las he visto muy apurado para resolverla y después he visto que las gráficas no eran ortogonales. Voy a repetir lo que está mal.
Teníamos que resolver esta ecuación
$$\begin{align}&\frac{dy}{dx} = -\frac{2xy}{x^2+y^2}\\ &\\ &\text{El cambio es y=ux}\\ &\\ &\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}x+u=-\frac{2xux}{x^2+u^2x^2}\\ &\\ &\frac{du}{dx}x+u=-\frac{2x^2u}{x^2(1+u^2)}\\ &\\ &\frac{du}{dx}x+u=-\frac{2u}{1+u^2}\\ &\\ &\frac{du}{dx}x=-\frac{2u}{1+u^2}-u\\ &\\ &\frac{du}{dx}x=\frac{-2u-u-u^3}{1+u^2}=\frac{-3u-u^3}{1+u^2}\\ &\\ &-\left(\frac{1+u^2}{u^3+3u}\right)du=\frac {dx}{x}\\ &\\ &-\frac 13\left(\frac{3u^2+3}{u^3+3u}\right)=\frac{dx}{x}\\ &\\ &integrando\\ &\\ &-\frac{ln(u^3+3u)}{3}= lnx + lnC\\ &\\ &ln\left(\frac{1}{\sqrt[3]{u^3+3u}}\right)=ln\,Cx\\ &\\ &\frac{1}{\sqrt[3]{u^3+3u}}=Cx\\ &\\ &u^3+3u = \frac k{x^3}\\ &\\ &\frac{y^3}{x^3}+\frac {3y}x=\frac k{x^3}\\ &\\ &\\ &y^3+3x^2y=k\end{align}$$Y esa es la familia de curvas ortogonales.
Lo he confirmado con algunas gráficas
Y eso es todo.
