Pruébese que el inf(S) es el sup de las cotas inferiores.
Hola. Gracias.
Sea S, subconjunto de los Reales, acotado inferiormente y no vacío. Pruébese que inf(S)= sup{x en R| s es cota inferior de S}.
1 respuesta
Por definición el ínf(S) es la mayor de las cotas inferiores de S
Llamemos
a = Inf(S) =mayor de las cotas inferiores de S
b = sup{x€R| x es cota inferior de S} = menor de las cotas superiores de las cotas inferiores.
B es una cota superior de las cotas inferiores de S luego b>=a
Supongamos que b >a estrictamente, tomemos el punto intermedio que será
a+(1/2)(b-a)
Por ser mayor que a es una cota superior de las cotas inferiores. Pero también es menor que b, y eso es absurdo porque b era la menor de las cotas superiores de las cotas inferiores.
Luego b no puede ser distinto de a y por tanto son iguales.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido, aunque es algo lioso y me costó resolverlo.
Un saludo.
T es la menor de las cotas superiores de las cotas inferiores de S. Un trabalenguas.
Me perdí en la parte que tomas el punto medio.
Pues tenemos que a < b, o sea, a está a la izquierda de b y vamos a ver que eso es absurdo.
Para ello tomamos el punto intermedio entre a y b que es c = a+(b-a)/2 aunque pensándolo bien no es necesario saber cual es su valor. Simplemente a que saber que es distinto de a y b y que está en el medio.
Entonces ese punto c, por ser mayor que a, es una cota superior para las cotas inferiores de S.
Y c es menor que b y ahí viene el absurdo, porque b es por definición la menor de las cotas superiores de las cotas inferiores, pero resulta que c es una cota superior de las cotas inferiores y es menor que b. Y el absurdo venia de suponer que a era estrictamente menor que b, luego no puede serlo. Y como tampoco podía ser mayor tienen que ser iguales.
