Pruébese que el inf(S) es el sup de las cotas inferiores.

Hola. Gracias.

Sea S, subconjunto de los Reales, acotado inferiormente y no vacío. Pruébese que inf(S)= sup{x en R| s es cota inferior de S}.

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Por definición el ínf(S) es la mayor de las cotas inferiores de S

Llamemos

a = Inf(S) =mayor de las cotas inferiores de S

b = sup{x€R| x es cota inferior de S} = menor de las cotas superiores de las cotas inferiores.

B es una cota superior de las cotas inferiores de S luego b>=a

Supongamos que b >a estrictamente, tomemos el punto intermedio que será

a+(1/2)(b-a)

Por ser mayor que a es una cota superior de las cotas inferiores. Pero también es menor que b, y eso es absurdo porque b era la menor de las cotas superiores de las cotas inferiores.

Luego b no puede ser distinto de a y por tanto son iguales.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido, aunque es algo lioso y me costó resolverlo.

Un saludo.

T es la menor de las cotas superiores de las cotas inferiores de S. Un trabalenguas.

Me perdí en la parte que tomas el punto medio.

Pues tenemos que a < b, o sea, a está a la izquierda de b y vamos a ver que eso es absurdo.

Para ello tomamos el punto intermedio entre a y b que es c = a+(b-a)/2 aunque pensándolo bien no es necesario saber cual es su valor. Simplemente a que saber que es distinto de a y b y que está en el medio.

Entonces ese punto c, por ser mayor que a, es una cota superior para las cotas inferiores de S.

Y c es menor que b y ahí viene el absurdo, porque b es por definición la menor de las cotas superiores de las cotas inferiores, pero resulta que c es una cota superior de las cotas inferiores y es menor que b. Y el absurdo venia de suponer que a era estrictamente menor que b, luego no puede serlo. Y como tampoco podía ser mayor tienen que ser iguales.

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