Álgebra moderna---Homomorfismos
ayuda con esta pregunta:
Demostrar que: siendo G un grupo y sea A(G) es el conjunto de todas las aplicaciones inyectivas de G en sí mismo.
Probar: {A(G),o} es un grupo.
1 respuesta
Es falso, quizá falte decir en el enunciado que el grupo es finito. Cuando el grupo es finito inyectiva implica biyectiva y es verdadero, pero si el grupo no es finito es falso.
Basta cono que tomes la siguiente aplicación biyectiva en <Z,+>
f(n) = 2n
es inyectiva ya que f(n)=f(m) ==> 2n= 2m ==> n=m
Pero no tiene inversa ya que los números impares no tienen antiimagen.
Esta es la respuesta que hay que dar a lo que has escrito. Si me dices que el grupo es finito la respuesta sería esta.
Hay que comprobar que se cumple el teorema de caracterización de subgrupos sobre el conjunto de las aplicaciones inyectivas
i) Que el conjunto no es vacío
Ii) Que para todo par f y g de elementos del conjunto, (f o g^-1) también pertenece al conjunto
i) El conjunto de aplicaciones inyectivas no es vacío porque la identidad es una aplicación inyectiva.
Ii) En un conjunto finito una aplicación inyectiva es biyectiva y una aplicación biyectiva tiene inversa y es biyectiva (luego inyectiva). Asi que dada la aplicación g existe g^-1 y es inyectiva.
Y la composición de aplicaciones biyectivas es una aplicación biyectiva. En realidad solo basta que probemos que es inyectiva.
Supongamos
(f o g^-1)(x) = (f o g)(y) ==>
f(g^-1(x)) = f(g^-1(y))
como f es inyectiva
g^-1(x) = g^-1(y)
como g^-1 es inyectiva
x=y
Y eso es todo.
