Comprobación ejercicio integral

Pues a primera vista me parece que es eso, vamos a derivarlo

$$\begin{align}&f´(x) =-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+1}=\\ &\\ &\\ &\frac{-(x+1)+x+2}{(x+2)(x+1)}=\frac{1}{x^2+3x+2}\end{align}$$

Si, está bien. Supongo entonces que sabes como hacer ese tipo de integrales. Se hallan la raíces del denominador. salen -1 y -2. Entonces el denominador es (x+1)(x+2)

Como son simples la fracción inicial puede descomponerse en la suma de dos de este tipo

$$\begin{align}&\frac{1}{x^2+3x+2}=\frac{a}{x+1}+ \frac{b}{x+2}=\\ &\\ &\frac{a(x+2)+b(x+1)}{x^2+3x+2}\\ &\\ &\\ &1=a(x+2)+b(x+1)\\ &\\ &Para\; x=-2\\ &\\ &1 = -b\\ &\\ &b=-1\\ &\\ &\text{Y para x=-1}\\ &\\ &1=a\\ &\\ &\text{Y la integral es}\\ &\\ &\int \frac{dx}{x+1}+ \int \frac{-dx}{x+2} =\\ &\\ &\\ &ln|x+1|-ln|x+2|+C\end{align}$$

Y eso es todo.