Desarrollar ecuación Diferencial

La primera tiene toda la pinta de poder resolverse mediante el cambio de variable

y =ux

dy/dx =x(du/dx) + u = uln(u)

x(du/dx) = uln(u)-u

du/[uln(u)-u] = dx/x

Es una ecuación de variables separadas hay que integrar en ambos miembros

$$\int \frac{du}{uln(u)-u} = \int \frac{1}{(ln(u)-1)}\frac {du}{u}$$

 Lo he puesto de esa forma para que se vea claramente que es una integral casi inmediata

Si hacemos el cambio

t = ln(u)-1

dt = du/u

Y la integral queda en

$dt/t = ln(t)

donde $ es el símbolo que uso para la integral

Luego la integral es ln(t) = ln(ln(u)-1)

En el otro miembro la integral es ln(x)

ln(ln(u)-1) = ln(x) + C

Y deshacemos el cambio de u

ln(ln(y/x)-1) = ln(x) + C

Para poder seguir algo más hacemos C = ln(k)

ln(ln(y/x)-1) = ln(x)+ln(k) = ln(kx)

ln(y/x)-1 = kx

ln(y)/ln(x) = 1+kx

ln(y) = (1+kx)ln(x) = ln[x^(1+kx)]

y =x^(1+kx)

donde k es la constante.  Si estás más avituado pon

y =x^(1+Cx)

Y eso es todo, la otra mándala si acaso en otra pregunta.