Espacios y subespacios en R3
Considera el subespacio W= {v ?R^3:v·(1,1,1)=0} de R^3, halla una base para W. ¿cuál es la dimensión de W?
1 Respuesta
Los vectores cuyo producto escalar es 0 son perpendiculares. Luego el espacio vectorial V es el conjunto de todos los vectores perpendiculares a (1,1,1). Ya sabemos que eso es un plano y un plano tiene dimensión 2.
O podemos hacelo de otra forma:
W no puede ser R^3 ya que hay vectores que no pertenecen a V, él mismo por ejemplo:
(1,1,1)·(1,1,1) = 1+1+1 = 3
Entonces tendrá dimensión 2 como máximo.
Buscamos un vector de W
(a , b, c) (1,1,1) = 0
a+b+c = 0
c = -a -b
Luego podemos tomar a y b como queremos y entonces hacemos c=-a-b.
El ejemplo más sencillo es
(1, 0, -1)
y podemos tomar fácilmente otro linealmente independiente con este
(0, 1, -1)
Ya tenemos 2 y sabemos que no puede haber otro linealmente independiente con ellos.
Resumiendo:
La dimensión es 2 y una base es B={(1,0,-1), (0,1,-1)}
Y eso es todo.
