Aplicación de derivadas
Hola
En un modelo de flujo de vehículos sobre un carril de una autopista, el número de automóviles que pueden circular por el carril por unidad de tiempo está dado por:
$$N= (-2a)/[-2at+v-(2al/v)]$$
donde a es la aceleración de un automóvil al detenerse (a<0), t sub r (no pude escribirlo bien en la fórmula) es el tiempo de reacción para comenzar a frenar, v la velocidad promedio de los automóviles y l la longitud de un automóvil. Suponga que a,t, y l son constantes. Para encontrar el mayor número de automóviles que pueden circular por un carril, es necesario calcular la velocidad v que maximiza a N. Para maximizar N, es suficiente minimizar el denominador de
-2at + v-(2al/v)
Encontrar el valor de v que minimiza al denominador.
Encuentre el valor de N con un decimal.
Encuentre el cambio relativo N que resulta cuando l se reduce de 20 pies a 15 pies para el valor de v que maximiza.
gracias de antemano.
1 Respuesta
Pues si, la forma de maximizar la función es minimizar el denominador. Como las demás variables son constantes, derivaremos respecto v e igualaremos a cero para calcular el mínimo.
f(v) = -2at + v-(2al/v)
f '(v) = 1 -2al (-1/v^2) = 1 + 2al/v^2
1+2al/v^2 = 0
2al/v^2 = -1
2al = -v^2
v^2 = -2al
v = +- sqrt(-2al)
La velocidad se supone negativa, luego
v = sqrt(-2al)
Sustituimos este valor en la fórmula de N
N=(-2a)/[-2at + sqrt(2al) - 2al / sqrt(2al)] =
(-2a) / [-2at + sqrt(2al) - sqrt(2al)] =
(-2a) / [-2at] = 1/t
Luego el máximo valor de N es
N = 1/t
Como no nos dicen cuánto vale t no podemos calcularlo.
El valor de l no interviene en interviene en el N máximo, solo interviene t, luego el N máximo será el mismo cuando l valga 20 o 15
Entonces el cambio relativo es nulo.
Y eso es todo.
