Ayuda con estas demostraciones de unión e intersección
Sean A y B subconjuntos de un conjunto universal U. Demostrar:
$$a) \,\,\, A \cup B=A\cap B \,\,\,si \,\,\,y \,\,\,solo\,\,\,si \,\,\,A=B \\ b)\,\,\,A\cap B=A \,\,\,si\,\,\,y\,\,\,solo\,\,\,si\,\,\,A\subseteq B \\ c)\,\,\,(A\cap B^{c})\cup (A^{c}\cap B)=A\cup B \,\,\,si\,\,\,y\,\,\,solo\,\,\,si \,\,\,A\cap B= \varnothing$$me podría ayudar con esto.
1 Respuesta
Sería interesante saber qué teoría habéis dado para ver que métodos se pueden emplear.
a)
(==>)
Sea x € AUB ==> x € A n B ==> x€A y x€B ==>
1) AUB incluido en A ==> B incluido en A
2) AUB incluido en B ==> A incluido en B
y como de las dos se deduce A=B
(<==)
Si A=B se deduce inmediatamente
AUB = AUA = A
AnB = AnA = A
luego AUB=AnB
b) AnB=A <==> A incluido B
(==>)
Sea x€A, ==> x € AnB ==> x€B
luego A incluido B
(<==)
Si A incluido en B todo x de A pertenecerá también a B luego pertenecerá a AnB, luego
A incluido AnB
y si x €AnB entonces x€A luego AnB incluido A
y de las dos inclusiones se deduce AnB=A
c) (A n Bc)U(Ac n B) = AUB <==> AnB = vacío
(==>)
Usamos la propiedad distributiva
[(A n Bc) U Ac] n [(A n Bc) U B] =
(A U Ac) n (Bc U Ac) n (A U B) n (Bc U B) =
Universal n (Bc U Ac) n (A U B) n Universal =
(Bc U Ac) n (A U B)
Y eso dicen que es AUB
(Bc U Ac) n (A U B) = A U B
por lo demostrado en el ejercicio anterior tenemos
(AUB) incluido en (Bc U Ac)
Si existiese x € AnB entonces x no€ Ac y x no€ Bc luego x no€ (Bc U Ac)
Luego x € (AUB) pero no€ (Bc U Ac) lo cual es contradictorio con el resultado al que habíamos llegado, luego no puede haber ningún elemento en AnB, asi que AnB = vacío
(<==)
Como AnB= vacío ==> A incluido en Bc ===> A n Bc = A
por lo mismo B incluido Ac ==> B n Ac = B
luego
(A n Bc) U (B nAc) = A U B
Y eso es todo.
