Vectores propios asociados

En la pregunta anterior ya vimos que los valores propios eran t=-4, t=5, t=-3.

A cada valor propio le corresponde un vector propio al menos que es un vector v que cumple la ecuación matricial

Av = tv

de la cual se deduce

Av-tv = 0

(A-t·Id)v =0 donde Id es la matriz identidad

Esto se traduce en que v es la solución de la ecuación que queda restando t en la diagonal principal.

Para t=-4

-4+4  2   -2 |0     0   2  -2|0
  0  5+4   0 |0  ~  0   9   0|0
  0  -1  -3+4|0     0  -1   1|0
Dividimos por 2 la primera y la sumamos a la tercera
0  1 -1|0
0  9  0|0
0  0  0|0

De la segunda se deduce y=0, entonces pasamos a la primera y es

0y-z = 0

z=0

Y para x se puede tomar cualquier valor salvo 0 ya que quedaría el vector(0,0,0 que no es un vector propio.

Luego para t=-4 el vector propio es (1,0,0)

Para t=5

-4-5   2   -2 |0    -9  2  -2|0
  0   5-5   0 |0  ~  0  0   0|0
  0   -1  -3-5|0     0 -1  -8|0

Damos a z el valor 1 por ejemplo

z=1

entonces en la tercera

-y -8 = 0

-y=8

y=-8

y ahora en la primera

-9x -16 - 2 = 0

-9x = 18

x=-2

Luego para t=5 el vector propio es (-2,-8,1)

Para t=-3

-4+3  2   -2 |0     -1   2  -2|0
  0  5+3   0 |0  ~   0   8   0|0
  0  -1  -3+3|0      0  -1   0|0
Dividendo la segunda por 8 y sumándola a la tercera
-1  2 -2|0
 0  1  0|0
 0  0  0|0

De la segunda se deduce y=0

Con ello la primera queda

-x -2z = 0

x = -2z

Damos a z el valor -1 por ejemplo y entonces x=2

Luego para t=-3 el vector propio es (2,0,-1)

Y eso es todo.