Duda sobre un ejercicio de limites y continuidad en dos variables

a) Bueno, se ve claramente la función f es continua en todos los puntos salvo aquellos que anulen el denominador que tendremos que estudiarlos. Y el único punto que puede anular el denominador es (0,0). Debemos comprobar si el limite cuando x e y tienden a cero es igual al valor de la función en (0,0) que es cero.

$$\begin{align}&\left|\frac{4x^2y^2}{x^2+y^2}-0\right|\le \left|\frac{4x^2y^2}{x^2}\right|=4y^2\le \\ &\\ &4(x^2+y^2)\le 4 \sqrt{x^2+y^2} \\ &\\ &\text{Esto último es si tomamos }\delta \lt 1 \text { se cumple} \\ &\\ &0\lt \sqrt{x^2+y^2}\lt \delta \lt1 \implies x^2+y^2 \lt \sqrt{x^2+y^2}\\ &\text{ya que toda raíz cuadrada de un número menor que 1}\\ &\text{es mayor que ese número}\\ &\\ &\text{Entonces dado }\epsilon \gt 0 \text{ tomaremos }\delta = min\left(\frac{\epsilon}{4},1\right)\\ &\\ &\\ &\left|\frac{4x^2y^2}{x^2+y^2}-0\right|<4\delta=4 \frac{\epsilon}{4}= \epsilon\end{align}$$

Luego en (0,0) coinciden el límite y el valor de la función , por tanto es continua.

b) G es la misma función que f salvo en el punto (0,0), ya vimos en el apartado anterior que el limite en (0,0) era cero, luego g no es continua en (0,0) porque no coinciden el límite y el valor de g(0,0)=2

Y eso es todo.