Utilizando fracciones parciales determinar la integral

Tenemos que factorizar el denominador

x^3+x = x(x^2+1)

Y ya no se puede más porque x^2+1 tiene raíces complejas.

Las fracciones parciales a usar serán

$$\begin{align}&\frac ax+\frac{bx+c}{x^2+1}=\\ &\\ &\frac{ax^2+a+bx^2+cx}{x(x^2+1)}\\ &\\ &\\ &\text{Debe cumplirse}\\ &\\ &(a+b)x^2+cx+a=x^2+8\\ &\\ &a=8\\ &c=0\\ &a+b=1\implies8+b=1\implies b=-7\\ &\\ &\int 2 \left(\frac {x^2+8}{x^3+x}\right)dx = \int \frac {16}xdx -\int \frac{14x}{x^2+1}dx=\\ &\\ &16ln|x|-7\int \frac{2x}{x^2+1}dx=\\ &\\ &\text{El numerador es la derivada del denominador}\\ &\\ &= 16ln|x|-7ln(x^2+1)+C\end{align}$$

A mí esa es la expresión que me gusta, esta diseñada para que ahora la derives fácilmente y compruebes que está bien. No obstante hay profesores que quieren que ahora apliques todos los conocimientos que tienes, para ellos pon esto

$$ln\left(\frac{x^{16}}{(x^2+1)^7} \right)+C$$

Incluso hay expresiones usadas en la resolución de ecuaciones diferenciales donde la constante de integración primera es ln|C| en vez de C con lo cual al final quedaría todavía más condensada

$$ln\left(\frac{|C|x^{16}}{(x^2+1)^7} \right)$$

Y eso es todo.

Gracias ya entendí mejor, pero varia mucho si el dos que esta adelante solo es para el numerador? asi: ? 2(x^2+8)/x^3+x .. disculpa tengo examen y quiero tener en claro como hacer, por favor.