¿Cómo resolver la siguiente integral?

Me parece que esa integral la hice yo. Nadie suele escribir la función arctg salvo yo

Lo primero tienes que saber cual es la derivada del arctg

$$Arctg$$

Y si en vez de ser arctg(x) fuera una función u(x), aplicando la regla de la cadena la derivada sería:

$$Arctg$$

En la pregunta original completé cuadrados e hice operaciones para llegar a esto

$$\frac{1}{5}\int \frac{dx}{\left ( \frac{x+5}{\sqrt 5}\right )^2+1}$$

Eso se parece bastante a la derivada que he puesto con u, la función u debe ser obviamente

$$\begin{align}&u=\frac{x+5}{\sqrt 5}\\ &\\ &\\ &luego \\ &\\ &u$$

Nada hubo un problema con la página y no me dejaban escribir, espera que lo solucione y a ver si puedo continuar

Pues decía que para dejar esa expresión como la derivada que teníamos con u, la función u debe ser

$$u=\frac{x+5}{\sqrt 5}$$

con lo que

$$u$$

Si queremos que la integral sea exactamente como una derivada del arctg(u) hay que poner esa derivada en el numerador. Pero no se puede añadir nada gratuitamente, si multiplicamos por algo hay que dividir por eso mismo para que todo siga valiendo lo mismo. Ten en cuenta que dividir por una fracción es lo mismo que multiplicar por el inverso. Entonces pondremos dentro de la integral la derivada de u pero fuera multiplicaremos por el inverso y quedará

$$\frac{1}{5}\frac{\sqrt 5}{1}\int \frac{\frac{1}{\sqrt 5}dx}{\left ( \frac{x+5}{\sqrt 5}\right )^2+1}$$

Y ahora si que tienes dentro del integrando la derivada exacta de

$$arctg \left( \frac{x+5}{\sqrt 5} \right )$$

Luego la integral es

$$\frac {\sqrt 5}{5} arctg \left( \frac{x+5}{\sqrt 5} \right ) +c$$

Y eso es todo. Apréndelo por favor, el uso del editor de ecuaciones es muy pesado y hay que permitir saltarse los pasos que sean más sencillos.

Veo que hay un problema con el editor de ecuaciones, en realidad ya he visto varios problemas hoy con este editor. Escribiré con editor normal las fórmulas que se comió

La derivada del arcotangente es

arctg'(x) = 1/(1+t^2)

Si en vez de x es una función u(x) la derivada es

arctg`(u) = u'/(1+u^2)

La función u debe ser obviamente

u = (x+5)/sqrt(5)

luego

u' = 1/sqrt(5)

Y esos son los sitios donde se comió texto, al parecer no admite el símbolo del apóstrofo.

Hola experto,

Tienes toda la razón esta integral me la has resuelto tú, tenia esta duda y no te la pude volver a preguntar porque ya te había puntuado. Y una cosa respecto al editor de ecuaciones Siempre que le intentado usar no me funciono, no sé cual puede ser el motivo!!!!!!

Y gracias otra vez por tu ayuda.