Ejercicio pag 119 9b

a)

$$\begin{align}&\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{e^{xy}-1}{y}\\ &\\ &\text{Dado x fijo y usando l'Hôpital}\\ &\\ &\lim_{y\to 0}\frac{e^{xy}-1}{y}= \lim_{y\to 0}\frac{xe^{xy}}{1}=xe° = x\\ &\\ &\text{y haciendo ahora que x tienda a 0}\\ &\\ &\lim_{x \to 0}x = 0\end{align}$$

b)

$$\begin{align}&\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\cos(xy)-1}{x²y²}\\ &\\ &\text {tomamos x fijo y aplicamos l'Hôpital}\\ &\\ &\lim_{y\to0}\frac{\cos(xy)-1}{x^2y^2}=\\ &\\ &\\ &\lim_{y \to 0}\frac{-x·sen(xy)}{2x^2y}=\\ &\\ &\\ &\lim_{y \to 0}\frac{-sen(xy)}{2xy}=\\ &\\ &\\ &\lim_{y \to 0}\frac{-x·\cos(xy)}{2x}=\\ &\\ &\\ &\lim_{y\to 0}\frac{-\cos(xy)}{2}=-\frac 12\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Bueno hay otro método más fácil. Hacemos el cambio de variable z = xy

$$\begin{align}&\lim_{z\to 0}\frac{\cos z}{z^2}=\lim_{z \to 0}\frac{-senz}{2z}=\\ &\\ &\\ &\lim_{z \to 0}\frac{-cosz}{2}=-\frac 12\end{align}$$

Y eso es todo.