Solución de una ecuación diferencial usando la transformada de laplace duda

Yo daré todos los pasos aunque podría usarse una fórmula que los simplifica y nos haría avanzar.

Hago la transformada en los dos lados:

$$\begin{align}&s^2\overline{z}+s-9 +5(s\overline{z}+1)-6\overline{z}=21 \left(\frac{1}{s-1}\right)\\ &\\ &\text{Seguramente tengas en la tabla}\\ &\frac{1}{s+\alpha}\implies e^{-\alpha t}\\ &\\ &\text{Hay que tomar }\alpha=-1 \text{ para obtener }e^t\\ &\\ &\overline{z}(s^2+5s-6)=\frac{21}{s-1}-s+4\\ &\\ &\overline{z}(s^2+5s-6)=\frac{21-s^2+4s+s-4}{s-1}\\ &\\ &\overline{z}=\frac{-s^2+5s+17}{(s-1)(s^2+5s-6)}\\ &\\ &\text{Descomponemos del todo el denominador}\\ &\\ &\overline{z}=\frac{-s^2+5s+17}{(s-1)(s-1)(s+6)}\\ &\\ &\frac{a}{s-1}+\frac{b}{(s-1)^2}+\frac{c}{s+6}=\\ &\\ &\\ &\frac{a(s-1)(s+6)+b(s+6)+c(s-1)^2}{(s-1)^2(s+6)}=\\ &\\ &\\ &\frac{as^2+5as-6a+bs+6b+cs^2-2cs+c}{(s-1)^2(s+6)}=\\ &\\ &\frac{(a+c)s^2+(5a+b-2c)s-6a+6b+c}{(s-1)^2(s+6)}\\ &\\ &a+c =-1\\ &5a+b-2c=5\\ &-6a+6b+c=17\\ &\\ &\text{Si sumamos las tres queda}\\ &7b=21 \implies b=3\\ &\text{llevamos este valor a la tercera}\\ &-6a+18+c=17\\ &-6a+c=-1\\ &\text{Le restamos la primera}\\ &-7a=0 \implies a=0\\ &c= -1\\ &\\ &\\ &\overline{z}=\frac{3}{(s-1)^2}-\frac{1}{s+6}\\ &\\ &z=3te^{t}-e^{-6t}\end{align}$$

He comprobado que está bien.

Y eso es todo.