Muestre que la función y=ae^(2x)cosx+be^(2x)senx con a y b son constantes
muestre que la función y=ae^(2x)cosx+be^(2x)senx con a y b son constantes satisface la relación: f''(x)-4f'(x)+f(x)=0
sean f1x....fn(x) un conjunto finito de funciones derivables en x0 proponer una formula para
(f1x....xfn)'(x) y demostrarla por inducción matematica
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Es un ejercicio por pregunta, estos son dos buenos ejercicios y deben ir en preguntas distintas aunque en el texto te lo pongan como una.
Por otra parte ya he hecho alguna otra vez el primero, cuyo enunciado está mal, pero te lo resuelvo para que lo veas por ti mismo.
$$\begin{align}&f(x)=ae^{2x}cosx+be^{2x}senx\\ &\\ &f´(x)= 2ae^{2x}cosx-ae^{2x}senx+2be^{2x}senx+be^{2x}cosx=\\ &\\ &e^{2x}[(2a+b)cosx+(2b-a)senx]\\ &\\ &\\ &\\ &f´´(x) = 2e^{2x}[(2a+b)cosx+(2b-a)senx]+\\ &e^{2x}[(-2a-b)senx +(2b-a)cosx] =\\ &\\ &\\ &e^{2x}[(4a+2b+2b-a)cosx+(4b-2a-2a-b)senx] =\\ &\\ &e^{2x}[(3a+4b)cosx+(3b-4a)senx)]\\ &\\ &f´´(x)-4f´(x)+f(x) =\\ &\\ &e^{2x}[cosx(3a+4b-8a+4b+a)+senx(3b-4a-8b+4a+b)]\\ &\\ &e^{2x}(-4acosx-4bsenx)\end{align}$$Y como puedes ver el enunciado está mal, para que sea cero hay que sumarle 4f(x) más, tendría que ser
f ''(x) - 4f '(x) + 5f(x) = 0
Para que fuese verdadero.
Y lo he revisado varias veces y comprobado con el infalible ordenador, el enunciado está mal.
Y eso es todo.
