Teorema de Brianchon
Teorema de Brianchon
Sea el hexágono formado por seis rectas tangentes de una cónica. Entonces las rectas que unen dos intersecciones opuestas de las tangentes se intersectan en un solo punto (conocido como punto de Brianchon).
a) Encuentra la ecuación y la gráfica de la cónica con excentricidad e=4/5
y cuyos vértices tienen coordenadas (-2,7) y (8,7)
b) Determina los puntos de la cónica anterior cuyas abscisas son x1 = 0, x2 = 4, x3 = 7
c) Traza las rectas tangentes que pasan por los puntos anteriores y establece su ecuación,
d) Con esta construcción, demuestra analíticamente que el punto de Brianchon tiene coordenadas PB(4,7)
1 Respuesta
a) Como la excentricidad es menor de 1 se trata de una elipse. Y por las coordenadas que nos dan de los vértices, estos determinan que el eje transversal es y=7 que es paralelo al eje X, luego el semieje mayor es paralelo al eje X. Eso tiene su importancia en la ecuación canónica porque el cociente de x² será mayor que el de y².
Y también nos determinan el centro de la elipse que es el punto intermedio entre ambos
centro = ((-2+8)/2, (7+7)/2) = (3, 7)
El semieje mayor será a= d((3,7),(8,7)) = 5
Con todo esto, la ecuación canónica será:
$$\frac{(x-3)^2}{25}+ \frac{(y-7)^2}{b²}=1$$Sabemos que la excentricidad es c/a = 4/5 luego
c=4a/5 = 4·5/5 = 4
Y sabemos que a² = b²+c², luego b² = a²-c² = 25 - 16 = 9
$$\begin{align}&\\ &\\ &\text {y la ecuación de la elipse será}:\\ &\\ &\frac{(x-3)^2}{25}+ \frac{(y-7)²}{9}= 1\end{align}$$La gráfica irá después con todo.
b) Como ayuda para el cálculo de los puntos con una abcisa dada vamos a despejar la y
$$\begin{align}&\frac{(x-3)^2}{25}+ \frac{(y-7)^2}{9}= 1\\ &\\ &\frac{(y-7)^2}{9}=1- \frac{(x-3)^2}{25} = \frac{25-(x-3)^2}{25}\\ &\\ &\\ &y = 7 \pm \frac 35 \sqrt{25-(x-3)^2}\\ &\\ &x= 0\implies \\ &y=7\pm \frac 35· 4= \frac{47}{5} y \frac{23}{5}=9.4 \;y \;4.6\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &x=4 \implies \\ &y = 7\pm \frac 35 \sqrt{24}\approx 9.939387691 \;y\;4.060612309\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &x=7 \implies\\ &y = 7 \pm \frac 35 ·3 =\frac{44}{5} y \frac{26}{5}=8.8 \;y \;5.2\end{align}$$Esta es la imagen:
Vamos a hacer una cosa. He trabajado mucho, no solo por el problema en sí, sino porque he querido hacerlo todo desde Linux. Geogebra funciona peor y he tenido que buscar un programa similar a Paint, instalarlo y aprender a manejarlo y no con los mejores resultados. Puntúa esta pregunta ya y mándala de nuevo para hacer la parte que queda de las ecuaciones de las rectas y su intersección analíticamente, que ahora no sé si será fácil o no, porque tangentes a un elipse no he realizado nunca. O si pero no me acuerdo. Hay preguntas demasiado largas o complicadas para valer solo como una.
