a) Como la excentricidad es menor de 1 se trata de una elipse. Y por las coordenadas que nos dan de los vértices, estos determinan que el eje transversal es y=7 que es paralelo al eje X, luego el semieje mayor es paralelo al eje X. Eso tiene su importancia en la ecuación canónica porque el cociente de x² será mayor que el de y².
Y también nos determinan el centro de la elipse que es el punto intermedio entre ambos
centro = ((-2+8)/2, (7+7)/2) = (3, 7)
El semieje mayor será a= d((3,7),(8,7)) = 5
Con todo esto, la ecuación canónica será:
$$\frac{(x-3)^2}{25}+ \frac{(y-7)^2}{b²}=1$$
Sabemos que la excentricidad es c/a = 4/5 luego
c=4a/5 = 4·5/5 = 4
Y sabemos que a² = b²+c², luego b² = a²-c² = 25 - 16 = 9
$$\begin{align}&\\ &\\ &\text {y la ecuación de la elipse será}:\\ &\\ &\frac{(x-3)^2}{25}+ \frac{(y-7)²}{9}= 1\end{align}$$
La gráfica irá después con todo.
b) Como ayuda para el cálculo de los puntos con una abcisa dada vamos a despejar la y
$$\begin{align}&\frac{(x-3)^2}{25}+ \frac{(y-7)^2}{9}= 1\\ &\\ &\frac{(y-7)^2}{9}=1- \frac{(x-3)^2}{25} = \frac{25-(x-3)^2}{25}\\ &\\ &\\ &y = 7 \pm \frac 35 \sqrt{25-(x-3)^2}\\ &\\ &x= 0\implies \\ &y=7\pm \frac 35· 4= \frac{47}{5} y \frac{23}{5}=9.4 \;y \;4.6\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &x=4 \implies \\ &y = 7\pm \frac 35 \sqrt{24}\approx 9.939387691 \;y\;4.060612309\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &x=7 \implies\\ &y = 7 \pm \frac 35 ·3 =\frac{44}{5} y \frac{26}{5}=8.8 \;y \;5.2\end{align}$$
Esta es la imagen:

Vamos a hacer una cosa. He trabajado mucho, no solo por el problema en sí, sino porque he querido hacerlo todo desde Linux. Geogebra funciona peor y he tenido que buscar un programa similar a Paint, instalarlo y aprender a manejarlo y no con los mejores resultados. Puntúa esta pregunta ya y mándala de nuevo para hacer la parte que queda de las ecuaciones de las rectas y su intersección analíticamente, que ahora no sé si será fácil o no, porque tangentes a un elipse no he realizado nunca. O si pero no me acuerdo. Hay preguntas demasiado largas o complicadas para valer solo como una.