Ejercicio 12c pagina 119

$$\begin{align}&\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\frac{2x^2y\,\cos z}{x^2+y^2}=\\ &\\ &\lim_{(x,y,z)\to (0,0,0)}2cos z·\lim_{(x,y,z)\to (0,0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y^2}=\\ &\\ &2·\lim_{(x,y,z)\to (0,0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y^2}\\ &\\ &\text {demostremos que ese límite es 0}\\ &\\ &\left|\frac{x^2y}{x^2+y^2}  \right|\le \left|\frac{x^2y}{x^2}  \right|=|y|\end{align}$$

Y como y tiende a 0 eso tiende a 0.

Si lo queremos hacer con rigor tomaremos epsilon = delta

$$\begin{align}&\sqrt{x^2+y^2}\lt\delta\implies\\ &\\ &\sqrt{y^2}\lt \delta \implies\\ &\\ &|y| \lt \delta \implies\\ &\\ &\frac{x^2|y|}{x^2}\lt \delta\implies\\ &\\ &\frac{x^2|y|}{x^2+y^2}\le \frac{x^2|y|}{x^2}\lt \delta\implies\\ &\\ &\frac{x^2|y|}{x^2+y^2}\lt \delta\\ &\\ &\left|\frac{x^2y}{x^2+y^2}-0  \right|\lt\delta=\epsilon\end{align}$$

Luego el límite es 2·0 = 0

Y eso es todo.